Pada artikel ini akan dibahas materi mengenai pengertian himpunan dan cara penulisan himpunan
Apa Itu Himpunan?
Apa yang dimaksud dengan himpunan? Kebanyakan dari kalian mungkin sudah mengenal tentang himpunan. Ya, tentu saja, himpunan adalah salah satu materi dasar yang dipelajari di Matematika. Well, kali ini kita akan membahas lagi dasar-dasar dari pembentuk himpunan beserta komponen-komponennya, in case kalian mungkin sudah lupa, belum mengerti sepenuhnya tentang himpunan atau ingin belajar tentang himpunan lebih jauh lagi. Kita akan belajar dari yang paling dasar dulu, yaitu pengertian himpunan.
Pengertian Himpunan
Secara sederhana, suatu himpunan dapat dikatakan sebagai kelompok atau sekumpulan objek. Objek yang membentuk suatu himpunan dapat berupa apa saja, seperti bilangan, benda, fungsi matematika, kumpulan dari himpunan-himpunan, gabungan dari hal-hal tersebut, atau bahkan tak ada sama sekali.
Oke, kita memang menyebut himpunan sebagai "sekumpulan objek". Namun, kita tidak serta merta bisa menyatakan bahwa sekumpulan objek tertentu adalah himpunan. Lalu sekumpulan objek seperti apa yang bisa kita sebut sebagai himpunan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1.
Dari dua pernyataan berikut, manakah yang merupakan himpunan dan mana yang bukan himpunan?
- Kumpulan hewan berkaki empat
- Sekumpulan hewan jinak
Pembahasan
- Pernyataan 1 merupakan himpunan.
Mengapa? Ketika kita menyebutkan anggota-anggota dari sekumpulan hewan yang dimaksud, pasti kita semua akan setuju dengan jawaban tersebut, karena hewan berkaki empat terdefinisi dengan jelas yaitu "hewan apa saja yang kakinya empat".
Contohnya: \(\{\text{sapi, kambing, kucing, kerbau, kuda, kelinci, dll}\}\).
Karena definisinya yang jelas itulah, kumpulan hewan berkaki empat bisa dikatakan sebagai himpunan. - Pernyataan 2 bukan merupakan himpunan.
Mengapa pula? Coba kita perhatikan bahwa ketika kita disuruh menyebutkan hewan apa saja yang termasuk hewan jinak, maka masing-masing dari kita pasti menyebutkan hewan yang berbeda-beda. Misal ketika kamu mengatakan ular adalah hewan jinak, belum tentu saya juga mengganggap ular sebagai hewan jinak. Perbedaan ini disebut sebagai sesuatu yang relatif, dan sifat inilah yang menyebabkan sekumpulan hewan jinak bukan merupakan himpunan.
Berdasarkan contoh tersebut, maka dapat kita simpulkan bahwa 'sekumpulan objek' yang dapat disebut sebagai himpunan adalah kelompok objek yang bisa didefinisikan secara jelas dan tidak ada perbedaan penafsiran terhadap objek tersebut. Dan apabila 'sekumpulan objek' tersebut memiliki jawaban yang berbeda-beda atau bersifat relatif, maka tidak dapat dikatakan sebagai himpunan.
Himpunan bersifat pasti atau terdefinisi dengan jelas, sementara bukan himpunan sifatnya relatif.
Sekilas Lebih Lanjut Mengenai Himpunan
Ketika membuat suatu himpunan, kita tidaklah perlu untuk menentukan urutan dari anggota-anggota himpunan tersebut, yang terpenting adalah objek yang ada dalam himpunan tersebut telah terdefinisi dengan jelas.
Perhatikan bahwa saat menentukan objek-objek dari suatu himpunan, kita mungkin saja menemukan bahwa seluruh objek yang termasuk dalam himpunan tersebut memiliki jumlah yang terbatas. Dan jika kita mau, maka kita dapat menyebutkan semua objek yang ada dalam himpunan tersebut. Himpunan yang memiliki anggota dengan jumlah terbatas disebut sebagai himpunan berhingga. Sebaliknya, jika kita tidak dapat menyebutkan keseluruhan objek dari suatu himpunan, maka himpunan tersebut merupakan himpunan tak hingga. Adapun objek-objek yang ada dalam suatu himpunan disebut sebagai elemen atau anggota dari himpunan. (Akan dibahas lebih lanjut pada artikel berikutnya)
Cara Menyatakan Suatu Himpunan
Terdapat tiga cara menyatakan himpunan, yaitu dengan menyebut namanya, mendaftarkan seluruh anggotanya, dan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Kita akan akan bahas masing-masing sekarang.
Menyatakan himpunan dengan menyebut namanya
Cara paling sederhana untuk menyatakan suatu himpunan adalah dengan menyebutkan nama dari himpunan tersebut.
Yup betul sekali! Sebagian himpunan memilki nama tersendiri sehingga kita hanya perlu menyebut nama mereka untuk "memanggilnya," seperti pada contoh berikut
Contoh 2.
Contoh cara menyatakan himpunan dengan menyebutkan nama langsung
Pembahasan
Beberapa contoh penulisan himpunan dengan langsung menyebutkan nama kelompoknya adalah
- Himpunan bilangan bulat
- Himpunan hewan bersayap
- \(\text{A}=\) Himpunan bilangan asli kurang dari \(5\)
- \(\text{B}=\) Himpunan siswa kelas XII
Namun, cara ini memiliki kelemahan karena tidak semua himpunan memiliki nama yang bisa disebutkan begitu saja, dan pada faktanya, malah lebih banyak! Oleh karena itu, kita membutuhkan cara lain untuk menyatakan suatu himpunan.
Terdapat dua cara lain yang bisa digunakan untuk mendefinikan suatu himpunan. Cara yang pertama ialah dengan menuliskan seluruh anggota himpunan tersebut dan cara kedua adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.
Mendefinisikan suatu himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan tersebut
Cara ini sangat mudah karena kita hanya perlu menuliskan semua anggota dari suatu himpunan, sebagai contoh:
Contoh 3. (penulisan himpunan dengan mendaftar anggota)
\(\text{H} = \{\text{pulpen, pensil, spidol, kuas}\}\).
Himpunan tersebut secara sederhana kita katakan sebagai himpunan yang memiliki empat elemen, yaitu pulpen, pensil, spidol, dan kuas. Cara tersebut adalah cara paling dasar untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu dengan aturan: anggota-anggota dari himpunan dipisahkan oleh tanda koma ( , ) dan dihimpun dalam suatu kurung kurawal "{ }" dan didefinisikan menggunakan huruf kapital (biasanya digunakan untuk menyingkat keterangan).
Adapun, sebagaimana disebutkan di awal, urutan dari suatu himpunan tidak penting, sehingga ketika kita menuliskan \(\text{H} = \{\text{pulpen, pensil, spidol, kuas}\}\) sama saja artinya dengan \(\text{H} = \{\text{kuas, spidol, pensil, pulpen}\}\). Selain itu, masing-masing anggota dari suatu himpunan hanya dituliskan satu kali saja. Sebagai contoh, untuk himpunan \(\text{C} = \{2, 4, 5, 4\}\), dapat kita singkat menjadi \(\text{C} = \{2, 4, 5\}\) saja, tanpa mengulangi penulisan anggota yang sama.
Jika himpunan tersebut merupakan himpunan tak hingga, kita tidak mungkin dapat menyebutkan anggotanya secara keseluruhan, bukan? Maka kita dapat menuliskan beberapa anggotanya saja kemudian memberikan tanda elipsis "..." seperti berikut.
Contoh 4. (penulisan himpunan tak hingga)
\(\text{B} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}\).
Namun, perlu diingat bahwa kita harus memastikan anggota dari himpunan tersebut telah jelas dan tidak menimbulkan multitafsir kepada pembaca. Pada himpunan \(\text{B}\) di atas contohnya. Dengan menuliskan 6 anggota himpunan tersebut, kita dapat mengetahui bahwa \(\text{B}\) adalah himpunan seluruh bilangan cacah. Beberapa contoh lain untuk himpunan tak hingga ini ialah sebagai berikut:
himpunan bilangan asli = \(\{1,2,3,4, ...\}\)
himpunan bilangan bulat = \(\{... ,-2,-1,0,1,2, ...\}\)
himpunan bilangan prima = \(\{2,3,5,7, ...\}\)
Tiga titik (atau elipsis) yang dituliskan pada bagian akhir maupun awal menyatakan bahwa anggota himpunan tersebut terus berlanjut sampai tak hingga banyaknya. Namun, adakalanya tiga titik tersebut juga dituliskan pada suatu himpunan berhingga, untuk menyingkat penulisan seluruh anggota himpunan tersebut dan untuk penulisannya umumnya di tengah-tengah dari anggota (meskipun kadang kita juga bisa menuliskannya di akhir), seperti contoh berikut:
Contoh 5. (himpunan berhingga dengan jumlah anggota yang banyak)
\(\text{A} = \{1, 2, 3, ... , 99, 100\}\)
Menyatakan himpunan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan
Itu tadi adalah cara pertama untuk menyatakan himpunan. Cara yang kedua adalah dengan membuat notasi pembentuk himpunan. Cara ini pada dasarnya memiliki makna yang sama dengan cara pertama, yaitu dengan menghimpun anggota-anggota himpunan di dalam kurung kurawal "{ }". Perbedaannya ialah, kita tidak harus menuliskan seluruh anggota dari himpunan tersebut. Kita hanya perlu menuliskan simbol tertentu untuk melambangkan keanggotaan, diikuti dengan sifat dari himpunan itu sendiri. Contonya adalah sebagai berikut:
Contoh 6. (penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan)
\(\text{C} = \{x|x ~\text{adalah bilangan asli kurang dari} ~10\}\)
Aturan dalam penulisan notasi pembentuk himpunan yaitu: membuat variabel yang akan digunakan sebagai lambang keanggotaan, biasanya berupa huruf kecil dan dituliskan di awal diikuti dengan tanda ( | ), (note: kita juga boleh menggunakan tanda titik dua ( : ) dan ini bermakna sama saja). Tanda ( | atau : ) di dalam penulisan ini bermakna "sedemikian sehingga" atau simpelnya bisa kita baca sebagai "di mana" atau "dengan syarat". Kemudian menuliskan aturan atau sifat dari himpunan itu sendiri.
Berdasarkan aturan tersebut, dari contoh 5 yang diberikan dapat kita baca bahwa \(\text{B}\) adalah "himpunan semua nilai \(x\) di mana \(x\) adalah bilangan bulat kurang dari \(10\)". Untuk lebih memahami, kita coba lihat contoh berikut.
Contoh 7.
Nyatakan himpunan berikut dalam notasi pembentuk himpunan
- Himpunan bilangan asli yang lebih besar dari \(5\) dan lebih kecil dari \(10\).
- Himpunan bilangan bulat yang memenuhi persamaan \(2y^2-5y=0\)
Pembahasan
- Himpunan bilangan asli yang lebih besar dari \(5\) dan lebih kecil dari \(10\), dalam notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut \[\text{A}=\{x|x\in \text{bilangan asli}, 5\lt x\lt 10\}\]
- Himpunan bilangan bulat yang memenuhi persamaan \(2y^2-5y=0\), dalam notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut. \[\text{B}=\{y|y\in \text{bilangan bulat dan}~2y^2-5y=0\}\]
Kesalahan-kesalahan yang sering dilakukan dalam penulisan himpunan
Terdapat beberapa kesalahan yang sering dilakukan pada penulisan himpunan. Kesalahan ini menyebabkan hilangnya tujuan utama dari penulisan himpunan, yaitu harus terdefinisi dengan baik dan tidak menimbulkan multitafsir. Apa saja kesalahan tersebut?
1. Penulisan kata Himpunan pada sesuatu yang bukan himpunan
Contoh 8.
Manakah di bawah ini yang merupakan himpunan dan bukan himpunan?
- Himpunan hewan berkaki dua
- Himpunan tumbuhan berbunga
- Himpunan anak-anak pintar
- Himpunan makanan enak
Pembahasan
Kalau kita menuliskan kalimat yang demikian, maka akan menimbulkan jawaban yang kontradiktif, khususnya untuk sesuatu yang nantinya kita sebut bukan himpunan. Mengapa begitu?
Perhatikan bahwa, jika kita menjawab yang bukan himpunan adalah 'himpunan anak-anak pintar' dan 'himpunan makanan enak', karena pintar dan enak bersifat subjektif, maka, alasannya memang benar. Sesuatu yang bersifat objektif tidak bisa dikategorikan sebagai himpunan
Lalu masalahnya di mana?
Masalahnya adalah penulisan kata 'himpunan' pada pernyataan yang kemudian kita sebut 'bukan himpunan'. Kontradiktif bukan?
Jadi, kalau kita belum mengetahui apakah objek-objek tertentu merupakan himpunan atau bukan, maka hanya perlu menyebutnya sebagai 'kelompok' atau 'sekumpulan' (atau kata yang sejenis). Ketika kita mengatakan objek tersebut himpunan, maka ia adalah himpunan. Bukan sesuatu yang perlu dipertanyakan lagi, kan.
Nah, setelah melihat salah satu kesalahan pada penulisan himpunan pada contoh 8 di atas, bagaimana sebaiknya pertanyaan tersebut ditulis, berikut contohnya:
Contoh 9.
Manakah di bawah ini yang merupakan himpunan dan bukan himpunan?
- Kelompok hewan berkaki dua
- Kelompok tumbuhan berbunga
- Sekumpulan anak-anak pintar
- Kelompok makanan enak
Pembahasan
Jika diberikan soal yang demikian, maka dengan mudah dapat kita katakan bahwa nomor 1 dan 2 merupakan himpunan, karena terdefinisi dengan jelas. Sementara itu, nomor 3 dan 4 bukan himpunan karena pintar dan enak adalah dua kata yang sifatnya relatif.
Bagaimana, jadi lebih bagus, kan? Yang jelas tidak menimbulkan pernyataan yang kontradiktif. Oke, kita lanjut pada kesalahan berikutnya.
2. Penulisan sifat di dalam kurung kurawal tanpa penggunaan simbol keanggotaan.
Kesalahan lainnya saat penulisan himpunan adalah penulisan langsung sifat himpunan dalam kurung kurawal tanpa penggunaan simbol keanggotaan. Contohnya seperti apa? Kita lihat uraian di bawah ini.
Contoh 10.
Tentukan anggota-anggota dari himpunan berikut.
- \(\text{A} = \{\text{bilangan bulat positif}\}\)
- \(\text{B} = \{\text{bilangan asli kelipatan} ~4~ \text{kurang dari} ~20~\}\)
Pembahasan
Apa yang salah dengan contoh tersebut?
Sebelum kita bahas apa kesalahan dari contoh tersebut, kalian jawab dulu pertanyaan tersebut. Apakah kalian akan memberi jawaban seperti berikut?
- \(\text{A} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}\)
- \(\text{B} = \{4, 8, 12, 16\}\)
Jika kalian menjawab demikian, maka jawabannya salah. Loh kok bisa salah sih? kan benar tuh bilangan bulat positif isinya \(1, 2, 3\), dan seterusnya. Ya itu memang benar, bukan alasannya itu yang salah, tapi sekali lagi, cara penulisan himpunannya yang salah.
Coba kita ingat lagi aturan penulisan himpunan, yaitu: anggota-anggota dari himpunan dipisahkan oleh tanda koma ( , ) dan dihimpun dalam suatu kurung kurawal "{ }". Ingat ya, yang ditulis dalam kurung kurawal adalah anggota dari himpunan tersebut bukan sifat himpunannya.
Jadi kalau kita disuruh menentukan anggota dari himpunan \(\text{A}\) dan \(\text{B}\) seperti pada contoh, maka jawaban yang tepat adalah: anggota dari \(\text{A}\) cuma satu, yaitu kalimat 'bilangan bulat positif'. Begitu pula dengan \(\text{B}\), anggotanya pun hanya satu, yaitu kalimat 'bilangan asli kelipatan \(4\) kurang dari \(20\)'.
Jadi, apa sudah mengerti kesalahannya pada penulisan pada Contoh 10? Semoga bisa dipahami ya. Seperti sebelumnya, akan kita bahas bagaimana seharusnya penulisan yang benar. Jika tetap ingin menuliskan sifat dari himpunan dalam kurung kurawal, maka kita perlu menambahkan simbol keanggotaannya terlebih dahulu, ini sesuai aturan penulisan notasi pembentuk himpunan yang telah kita bahas sebelumnya. Berikut contoh penulisan yang benar.
Contoh 11. Penulisan yang tepat untuk Contoh 11
Pembahasan
Penulisan yang tepat untuk Contoh 11 adalah sebagai berikut.
- \(\text{A} = \{a | a ~\text{adalah bilangan bulat positif}\}\)
- \(\text{B} = \{b | b ~\text{adalah bilangan asli kelipatan \(4\) kurang dari \(20\)}\}\)
atau cukup dituliskan sebagai:
- \(\text{A}\) = himpunan bilangan bulat positif
- \(\text{B}\) = himpunan bilangan asli kelipatan \(4\) kurang dari \(20\)
Setelah mengetahui kesalahan-kesalahan tersebut, untuk selanjutnya jangan dilakukan lagi ya, kalau kita menemukan kesalahan yang sama, sebaiknya dibenarkan, oke. Terkadang ada aturan-aturan tertentu yang memang harus kita ikuti, bukan untuk menyulitkan tetapi agar tidak menimbulkan kesalahan dalam pemahaman. Kalau hal-hal mendasar seperti ini saja kita sudah keliru, maka akan susah nantinya jika dihadapkan pada sesuatu yang lebih kompleks. So pelajari secara hati-hati dan tidak perlu terburu-buru, asalkan kita bisa memahaminya dengan baik dan benar.
Pada artikel berikutnya akan kita bahas mengenai komponen-komponen dalam himpunan (link menyusul). Tapi sebelum lanjut, agar lebih memahami materi ini, kalian bisa mencoba latihan-latihan berikut:
Latihan Soal
A. Nyatakan himpunan berikut dengan menuliskan anggota-anggotanya
- Himpunan hewan bertanduk
- Himpunan bilangan prima kurang dari \(30\)
- Himpunan bilangan asli yang lebih besar dari \(3\) dan kurang dari \(70\)
- Himpunan hufur konsonan
- Himpunan solusi dari pertidaksamaan \(2x-3\lt 5\)
B. Nyatakan himpunan berikut dalam notasi pembentuk himpunan
- Himpunan bilangan bulat antara \(-3\) dan \(4\)
- Himpunan bilangan kuadrat kurang dari \(100\)
- Himpunan provinsi-provinsi di Indonesia
- Himpunan bilangan asli yang memenuhi persamaan \(x^2+2x=8\)
- Himpunan bilangan ganjil lebih dari \(5\)
Posting Komentar
Posting Komentar