Pada post ini akan dibahas bukti eksistensial : konstruktif dan nonkonstruktif, dan counterexample
Hallo lagi sahabat matematika!

Kita masuk ke satu lagi cara membuktikan, yaitu bukti eksistensial (keberadaan).

Ada beberapa teorema atau proposisi yang dibuktikan cukup dengan menunjukkan keberadaannya. Sebagai contoh proposisi ini

Ada bilangan prima yang genap. 
  
dapat dibuktikan dengan menunjukkan 2. Kita tahu 2 adalah bilangan prima dan juga bilangan genap. 

Bukti keberadaan sendiri terbagi menjadi dua kategori, yaitu bukti konstruktif dan non-konstruktif. Pembuktian seperti di awal tadi disebut bukti konstruktif, yaitu kita menunjukkan secara langsung keberadaannya. Bukti non-konstruktif menunjukkan keberadaan dengan tanpa memberikannya secara langsung.

Berikut ini salah satu contoh bukti non-konstruktif. 

Yang akan kita buktikan adalah : Ada bilangan irasional berpangkat bilangan irasional yang menghasilkan bilangan rasional.

Bukti misalkan \(x = \sqrt 2 ^ \sqrt 2\) dan \(y = \sqrt 2\). Sebelumnya telah dibuktikan bahwa \(\sqrt 2\) adalah bilangan irasional. Tetapi kita tidak tahu \(x\) irasional atau bukan .

Jika \(x\) rasional, maka \(x\) merupakan perpangkatan \(y\) yang merupakan bilangan irasional.

Jika \(x\) irasional perhatikan bahwa \begin{align*}(\sqrt 2 ^\sqrt 2)^\sqrt 2 &=(\sqrt 2)^{(\sqrt 2. \sqrt 2)} \\ \sqrt 2^2 &= 2\end{align*}yang merupakan bilangan rasional.
Dari kedua kemungkinan ini, kita telah menunjukkan ada bilangan irasional berpangkat bilangan irasional tanpa menunjukkan secara langsung kemungkinan pertama atau kemungkinan kedua yang memenuhi ini.
Q.E.D.

Terkadang ada teorema atau proposisi yang memerlukan bukti keberadaanya dan ketunggalan ( ada dan tepat satu). Yang harus kita tunjukan dalam teorema atau proposisi jenis ini adalah
Keberadaan : Tunjukkan ada \(x\) yang memenuhi.
Ketunggalan : Tunjukkan jika \(x \neq y\) maka \(y\) tidak memenuhi, atau secara ekivalen tunjukkan bahwa jika \(x\) dan \(y\) keduanya memenuhi maka \(x = y\)

Contoh untuk yang satu ini
Problem
Buktikan bahwa ada tepat satu solusi real dari persamaan \begin{align*} 2x + 4= 0\end{align*} Bukti
Pertama kita tunjukkan bahwa ada solusi untuk persamaan ini. Perhatikan bahwa untuk \(x = -2\), \begin{align*} 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0 \end{align*} Sehingga \(x = -2\) merupakan solusi untuk persamaan ini.
Selanjutnya akan kita buktikan ketunggalannya. Untuk \(y \neq -2\) berlaku \begin{align*} y&\neq -2\\ 2y &\neq -4 \\ 2y + 4 &\neq -4 + 4 \\ 2y + 4 &\neq 0 \end{align*} Sehingga \(y\) bukan solusi untuk persamaan ini.
Q.E.D.


Counter Example

Seperti yang kita bahas sebelumnya, kita dapat mencari counter example untuk menunjukkan sebuah pernyataan salah. Well, ketika kita menemukan konjektur atau membuat konjektur, mungkin kita ingin membuktikannya. Tapi bagaimana kalau konjektur yang ingin kita buktikan malah salah? Kalau kebiasaan saya sendiri, saat membuat konjektur, hal pertama yang saya lakukan bukanlah membuktikannya, tapi mencari counter example, setelah tidak ditemukan barulah ke pembuktian. Tak jarang mentok dan tidak bisa membuktikan. Well, pembuktian emang begitu. Kadang ada yang dibuktikan dengan mudah ada yang malah tidak tau mau diapakan. Lebih banyak latihan dan belajar adalah kuncinya.


Kembali ke pembahasan kita. Misalnya ada pernyataan

Setiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan dengan penjumlahan dua bilangan kuadrat
akan kita coba
Solusi
Kita mulai dengan mencari counterexample. Setelah mencoba beberapa, kita akan menemukan \(3\) tidak dapat dinyatakan oleh penjumlahan dua bilangan kuadrat. Tapi, dengan begini saja kita belum meng-counter pernyataannya. Satu lagi yang harus kita lakukan, yaitu menunjukkan \(3\) tidak dapat dinyatakan oleh penjumlahan dua bilangan kuadrat. Untuk membuktikan ini, perhatikan bahwa kuadrat suatu bilangan bulat yang tidak melebihi \(3\) hanyalah \(0\) dan \(1\). Tetapi,\(0 + 0 = 0\), \(0 + 1 = 1\), dan \(1 + 1 = 2\). Tidak ada yang menghasilkan tiga. Akibatnya, \(3\) tidak dapat dinyatakan oleh penjumlahan dua bilangan kuadrat

Dalam pos ini telah kita bahas banyak hal. Sepertinya ini lebih mudah daripada pembuktian yang lain, karena kita hanya perlu mencari satu yang memenuhi(secara konstruktif ataupun non-konstruktif) dan bukti selesai. Well, tapi ada beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan hanya memberikan yang memenuhi, tanpa perlu kita jelaskan dari mana datangnya. Kita akan lihat pada contoh berikut.
Problem
Buktikan bahwa ada bilangan yang dapat dinyatakan oleh penjumlahan dua bilangan kubik dengan dua cara berbeda

Solusi
Tinjau \(1729\). Perhatikan bahwa \(10^3 + 9^3 = 1^3 + 12^3 = 1729\).
Q.E.D.
Pada contoh di atas kita memberikan \(1729\), yang entah datangnya dari mana, dan menunjukkan \(1729\) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua bilangan kubik. Akan banyak muncul pertanyaan dari mana datangnya? loh koq bisa? Tentu saja permasalahan awal telah terselesaikan, tapi muncul permasalahan baru. Hal ini wajar dalam matematika. Aristoteles pernah mengirim surat kepada Thales, pada sebagian isinya dia menuliskan

Untuk Thales... Pertanyaan yang paling penting bukanlah Apa yang kita ketahui? tetapi bagaimana kita mengetahuinya ?

Untuk mencari bilangan seperti di atas, hal termudah adalah mencoba-coba. Kita mulai dengan bilangan-bilangan kecil dan menjumlahkan, jika ada yang hasilnya sama, berarti kita telah berhasil. Kita juga dapat menggunakan perhitungan komputer dengan cara yang mereka bisa untuk membantu mencari bilangan tersebut. Beberapa orang yang lain mungkin akan memisalkan \(m^3 + n^3 = p^3 + q^3\) kemudian mencari solusinya. Ini hanya beberapa, mungkin akan banyak lagi cara. Begitu banyak cara yang mungkin tidak kita ketahui.

Dalam hal lain, kita akan bertanya, apakah hanya \(1729\) yang dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua bilangan kubik berbeda? Apakah ada bilangan lain? Kalau ada, apakah ada berhingga atau tak hingga? Lihatlah berapa banyak pertanyaan yang telah kita ajukan di sini. Kemudian, jika ada tak berhingga, bagaimana membuktikannya? Lagi, kita dibawa ke pembuktian. Matematika tidak akan terlepas dari pembuktian, suka ataupun tidak suka. But, menarik bukan? Itulah matematika

Well, Selanjutnya kita akan ke pembuktian lagi. Istirahatlah sekarang, atau coba beberapa latihan berikut.

Latihan

Buktikan atau cari counterexample
Problem 1
Ada bilangan real positif yang memenuhi \(x^2 <\sqrt x\)

Problem 2
Ada bilangan prima antara \(90\) dan \(100\)

Problem 3
Terdapat \(100\) bilangan bulat positif berurutan yang semuanya bukan kuadrat sempurna.

Problem 4
Terdapat pasangan bilangan bulat berurutan yang salah satunya adalah bilangan kuadrat dan yang lain adalah bilangan kubik.

Problem 5
Ada bilangan rasional \(x\) dan bilangan irasional \(y\) sedemikian sehingga \(x^y\) irasional.

Problem 6
Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan rasional, maka \(a^b\) bilangan rasional.

Problem 7
Jika \(a,b\) dan \(c\) adalah bilangan real dengan\(a\neq 0\), maka terdapat solusi tunggal untuk persamaan \begin{align*} ax + b = c \end{align*}

See you next Illusion ~