Pembuktian Teorema - Bukti Langsung

Pada pos ini akan dibahas bukti langsung dengan contoh, latihan, dan pembahasan

Hallo lagi sahabat matematika!

Setelah sebelumnya kita membahas definisi dan teorema, kali ini kita masuk ke bagian pertama metode pembuktian, yaitu bukti langsung.

Apa itu bukti langsung?

Bukti langsung adalah pembuktian yang berawal dari premis pada teorema kemudian menghasilkan kesimpulan.

Pertama yang harus kita ketahui adalah bahwa kebanyakan teorema berbentuk pernyataan kondisional, yakni dalam bentuk jika-maka (\(p \to q\)) atau bisa dibawa ke bentuk tersebut. Untuk membuktikan pernyataan seperti ini, perhatikan tabel kebenaran berikut (B untuk benar dan S untuk salah).

Tabel kebenaran implikasi

\(p\)	\(q\)	\(p\to q\)
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel ini kita lihat bahwa kalau \(p\) salah, implikasi \(p\to q\) akan selalu benar. Dengan kata lain, yang perlu kita lihat adalah saat \(p\) bernilai benar. Apabila kita mengasumsikan \(p\) benar lalu didapat hasil \(q\) benar, bukti kita selesai. Kita akan sajikan ini sebagai kerangka pembuktian

Proposisi Jika p maka q
Bukti
Asumsikan p
\( \vdots \)
sehingga q 

untuk contoh selanjutnya kita akan membutuhkan definisi.

Definisi: Bilangan genap dan bilangan ganjil

Bilangan bulat \(n\) adalah bilangan genap jika terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(n = 2k\) dan \(n\) adalah bilangan ganjil jika terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(n = 2k + 1\). Dua buah bilangan bulat dikatakan sama paritasnya jika keduanya ganjil atau keduanya genap, dan berbeda paritas jika salah satunya ganjil dan yang lain genap.

Berikutnya kita akan mencoba membuktian sebuah proposisi.

Contoh penggunaan bukti langsung

Dalam contoh ini kita akan mulai dari kerangka pembuktian, lalu mengisi kekosongan yang ada di antaranya. Yang akan kita buktikan adalah kuadrat dari bilangan ganjil pasti bilangan ganjil juga.

Proposisi Jika \(n\) adalah bilangan ganjil maka \(n^2\) adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan \(n\) ganjil.



sehingga \(n^2\) ganjil.

Bagian pertama dan terakhir sudah terisi. Sekarang tinggal mengisi bagian tengah dari buktinya (sebenernya ini bagian yang paling susah). Yang akan kita gunakan di sini adalah definisi di awal tadi dan beberapa pengoperasian yang diperlukan.

Proposisi Jika \(n\) adalah bilangan ganjil maka \(n^2\) adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan \(n\) ganjil.
Karena \(n\) ganjil, maka terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(n = 2k + 1\)



sehingga \(n^2\) ganjil.

Sekarang yang menjadi tujuan kita adalah \(n^2\) merupakan bilangan ganjil, yg kita butuhkah adalah definisi. \(n^2\) ganjil jika dapat dinyatakan ke dalam bentuk sebelumnya. Jadi, sebelum baris terakhir kita tambahkan hal ini sehingga menjadi

Proposisi Jika \(n\) adalah bilangan ganjil maka \(n^2\) adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan \(n\) ganjil.
Karena \(n\) ganjil, maka terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(n = 2k + 1\)


maka \( n^2 = 2m + 1\) untuk suatu bilangan bulat \(m\)
sehingga \(n^2\) ganjil.

Hampir selesai. hanya sedikit lagi yang perlu di isi. Kita bisa mengisi kekosongan ini dengan melakukan penguadratan pada \(n\) agar dihasilkan \(n^2\).

Proposisi Jika \(n\) adalah bilangan ganjil maka \(n^2\) adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan \(n\) ganjil.
Karena \(n\) ganjil, maka terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(n = 2k + 1\)
dengan menguadratkan diperoleh \begin{align*} n^2 &= (2k + 1)^2 \\ &= 4k^2 + 4k + 1 \\ &= 2(2k^2 + 2k) + 1 \end{align*} maka \( n^2 = 2m + 1\) untuk suatu bilangan bulat \(m = 2k^2 + 2k\)
sehingga \(n^2\) ganjil.  

Done. Bukti selesai. Untuk mengakhiri suatu pembuktian, kita bisa menambahkan \(\blacksquare\) seperti di atas ataupun tulisan Q.E.D. (quod erat demonstrandum).

Untuk metode pembuktian langsung cukup sampai di sini, selanjutnya kita akan masuk ke bukti tidak langsung.

Banyak latihan adalah kunci dalam menguasai pembuktian. Beberapa soal berikut dapat digunakan untuk latihan. (Cobalah untuk membuktikan sebelum melihat buktinya)

Latihan Soal

1. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
   
   Bukti
   Misalkan bilangan tersebut adalah \(m\) dan \(n\). Karena \(m\) dan \(n\) ganjil, maka terdapat bilangan bulat \(p\) dan \(q\) sedemikian sehingga \(m = 2p + 1~\) dan \(n = 2q + 1\). Dengan menjumlahkan diperoleh \begin{align*} m + n &= (2p + 1) + (2q + 1) \\ &= 2p + 2q + 2 \\ &= 2(p + q + 1)\\ &= 2k \\ \end{align*} Karena \(m + n = 2k\) untuk bilangan bulat \(k = p + q + 1~\) maka \(m + n\) merupakan bilangan genap berdasarkan definisi bilangan genap.
   Q.E.D.
2. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.
Bukti
Misalkan bilangan tersebut adalah \(m = 2p\) dan \(n = 2q~\) dengan suatu bilangan bulat \(p\) dan \(q\). Jumlahkan \(m\) dan \(n\) diperoleh \begin{align*} m + n &= 2p + 2q\\ &= 2(p + q) \\ &= 2k \end{align*} Karena \(m + n = 2k\) untuk bilangan bulat \(k = p + q\), maka \(m + n\) adalah bilangan genap.
Q.E.D.
3. Buktikan bahwa jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
Bukti
Misalkan bilangan tersebut adalah \(m = 2p\) dan \(n = 2q + 1~\) dengan suatu bilangan bulat \(p\) dan \(q\). Jumlahkan \(m\) dan \(n\) diperoleh \begin{align*} m + n &= 2p + (2q + 1)\\ &= 2(p + q) + 1 \\ &= 2k + 1 \end{align*} Karena \(m + n = 2k + 1\) untuk bilangan bulat \(k = p + q\), maka \(m + n\) adalah bilangan ganjil.
Q.E.D.
4. Buktikan bahwa kuadrat dari suatu bilangan genap adalah bilangan genap.
Bukti
Misalkan bilangan tersebut adalah \(n\). Karena \(n\) genap, misalkan \(n = 2k\) untuk suatu bilangan bulat \(k\). Dengan menguadratkan diperoleh \begin{align*} n^2 &= (2k)^2\\ &= 4k^2 \\ &= 2(2k^2)\\ &= 2m \end{align*} Karena \(n^2 = 2m\) untuk bilangan bulat \(m\) dengan \(m = 2k^2\), maka \(n^2\) adalah bilangan genap.
Q.E.D.
5. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
Bukti
Misalkan bilangan tersebut adalah \(n\) dan \(m\). Karena \(n\) dan \(m\) ganjil, maka ada bilangan bulat \(k\) dan \(l\) sedemikian sehingga \(n = 2k + 1\) dan \(m = 2l + 1\). Kalikan diperoleh \begin{align*} mn &= (2k + 1)(2l + 1)\\ &= 4kl + 2k + 2l + 1 \\ &= 2(2kl + k + l) + 1\\ &= 2p + 1 \end{align*} Karena \(mn = 2p + 1\) untuk bilangan bulat \(p\) dengan \(p = 2kl + k + l\), maka \(mn\) adalah bilangan ganjil berdasarkan definisi.
Q.E.D.
6. Misalkan \(m, n,\) dan \(p\) adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa jika \(m + n\) dan \(m + p\) adalah bilangan genap, maka \(n + p\) adalah bilangan genap.
Bukti
Asumsikan \(m + n\) dan \(m +p\) genap, maka ada bilangan bulat \(k\) dan \(l\) sedemikian sehingga \(m + n = 2k~\) dan \(m + p = 2l\). Dengan menjumlahkan diperoleh \begin{align*} (m + n) + (m + p) &= 2k + 2p)\\ n + p + 2m&= 2k + 2p \\ n + p &= 2k + 2p - 2m\\ &= 2(k +p - m) \\ &= 2a \end{align*} Karena \(n + p = 2a\) untuk bilangan bulat \(a\) dengan \(a = k + p - m\), maka \(n + p\) adalah bilangan genap berdasarkan definisi.
Q.E.D.
7. Buktikan bahwa jika \(a\) adalah bilangan ganjil, maka \(a^2 + 3a + 5\) adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan \(n\) ganjil. Maka, berdasarkan yang telah dibuktikan sebelumnya, \(a^2\) dan \(3a\) adalah bilangan ganjil. Akibatnya \(a^2 + 3a\) ganjil, sehingga \(a^2 + 3a + 5\) juga ganjil. Q.E.D.
8. Buktikan bahwa jika \(x\) adalah bilangan ganjil maka \(x^3\) adalah bilangan ganjil.
Bukti
Asumsikan \(x\) ganjil lalu misalkan \(x = 2n +1\) untuk suatu bilangan bulat \(n\). Diperoleh \begin{align*} x^3 &= (2n + 1)^3 \\ &= 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 \\ &= 2(4n^3 + 6n^2 + 3n) + 1\\ &= 2k + 1 \end{align*} Karena \(x^3\) dapat dinyatakan ke dalam bentuk \(2k + 1\) untuk suatu bilangan bulat \(k\) maka \(x^3\) adalah bilangan ganjil.
Q.E.D.
9. Buktikan bahwa bilangan ganjil selalu dapat dinyatakan oleh pengurangan dua bilangan kuadrat. (misalnya \(3 = 2^2 - 1^2\), \( -5 = 2^2 - 3^2\), \( 7 = 4^2 - 3^2  \), dst )
Bukti
Misalkan bilangan ganjil tersebut adalah \(n = 2k + 1\) dengan suatu bilangan bulat \(k\). Tulis \(n\) sebagai $$ n = (k + 1) + k $$. Perhatikan bahwa \((k + 1) - k = 1 \) sehingga dengan mengalikan diperoleh \begin{align*} n &= 1\left[(k + 1) + k\right] \\ &= \left[(k + 1) - k\right]\left [(k + 1) + k\right]\\ \\ \end{align*} ingat bahwa \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) sehingga $$n = (k + 1)^2 - k^2$$ dengan kata lain, \(n\) dapat dinyatakan sebagai pengurangan \((k + 1)^2 \) dan \(k^2\).
Q.E.D.
10. Buktikan bahwa jika \(n\) adalah bilangan bulat, maka \(5n^2 + 3n + 7\) adalah bilangan ganjil.
    (Petunjuk : Bagi jadi dua kasus, saat \(n\) ganjil dan saat \(n\) genap)
Bukti
Asumsikan \(n\) adalah bilangan bulat. Bilangan bulat hanya punya dua kemungkinan, yakni genap atau ganjil.
Jika \(n\) ganjil, maka \(n^2\) ganjil. Dari pembuktian soal 5 diperoleh bahwa \(5n^2\) dan \(3n\) adalah bilangan ganjil karena perkalian dua bilangan ganjil. Sehingga penjumlahannya \(5n^2 + 3n\) bernilai genap berdasarkan pembuktian soal 1. Berdasarkan pada soal 3 hasil penjumlahan \((5n^2 + 3n) + 7\) merupakan bilangan ganjil.
Jika \(n\) genap, misalkan \(n = 2k\) untuk suatu bilangan bulat \(k\) maka \begin{align*} 5n^2 + 3n + 7 &= 5(2k)^2 + 3(2k) + 7 \\ &= 20k^2 + 6k + 7 \\ &= 2(10k^2 + 3k + 3) + 1\\ &= 2p + 1 \end{align*} karena dapat dinyatakan menjadi \(2p + 1\) dengan \( p\) bilangan bulat, maka \(5n^2 + 3n + 7\) ganjil.
dari kedua kemungkinan tersebut diperoleh \(5n^2 + 3n + 7\) merupakan bilangan ganjil untuk \(n\) bilangan bulat.
Q.E.D.

---

*Dengan bahasa yang lain, dari soal 1 dan 2 dapat kita simpulkan bahwa penjumlahan dua bilangan bulat dengan paritas sama akan menghasilkan bilangan genap. Dari soal 3, penjumlahan dua bilangan dengan paritas berbeda akan menghasilkan bilangan ganjil.

Soal 10 merupakan salah satu yang dapat diselesaikan dengan membagi kasus. Pembuktian dengan membagi kasus akan kita bahas secara terpisah pada postingan berikutnya.

Selamat membuktikan. ^^