Pada artikel ini akan dibahas arti sebenarnya dari invers suatu fungsi dan cara mudah mencarinya.

Apa itu invers fungsi?

Invers dari suatu fungsi adalah kebalikan dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apa sebenarnya arti kebalikan yang dimaksud di sini? Sebelumnya, apa kamu tahu apa sebenarnya invers fungsi itu? Mungkin ada yang menjawab sebagai berikut:

Invers fungsi bukannya cuma \(f(x) =y\)  lalu menyelesaikan menjadi \(x=\) (dalam \(y\)) gitu ya?

Iya. Itu cara mencarinya. Tapi, apa kamu benar-benar mengetahui artinya?

Di sekolah kamu mungkin tidak diajarkan hal ini atau tidak terlalu ditekankan. Karena penekanan ada pada cara mencari invers dari suatu fungsi, bukan arti invers itu sendiri. 

Pada pembahasan ini kita akan mencoba memahami apa invers dari suatu fungsi dan sifat-sifat yang berkaitan dengan hal tersebut. Untuk memahami hal tersebut kita perlu memberikan cara lain melihat suatu fungsi. 

Pandang fungsi sebagai suatu proses

Fungsi dapat kita pandang sebagai sesuatu yang melakukan proses untuk mengubah sesuatu menjadi sesuatu yang lain. Dalam matematika seringkali kita berurusan dengan bilangan. Inilah sebabnya kita sering bertemu dengan fungsi yang mengubah bilangan menjadi bilangan lain. Perhatikan contoh fungsi berikut.

Contoh 1. Fungsi "kalikan dua" mengalikan bilangan apapun menjadi dua kalinya. Misalnya, \(5\) "kalikan dua" menghasilkan \(10\) dan \(7\) "kalikan dua" menghasilkan \(14\).

Akan tetapi, fungsi tidak terbatas hanya untuk bilangan saja. Kita bisa mendefinisikan fungsi kepada apa saja yang kita inginkan. Baik itu bilangan, himpunan, manusia, bahkan pada fungsi. Coba perhatikan contoh berikut.

Contoh 2. Fungsi "pasang kaos kaki" membuat kamu menjadi kamu yang memakai kaos kaki.



Masalah notasi

Pada Contoh 1 di atas kita tidak menggunakan notasi standar untuk fungsi. Seperti yang kamu sudah ketahui, notasi untuk menyatakan hasil dari suatu fungsi biasanya adalah \(f(x)\). Pada Contoh 1, kita bisa saja menuliskan fungsi tersebut menjadi \(f(x) = 2x\). Pada pembahasan selanjutnya kita akan belajar untuk mengubah dari fungsi yang berupa ekspresi matematika menjadi suatu proses.

Contoh 3. Fungsi \(f(x) = 7x\) dapat dipandang sebagai "kalikan tujuh".

Pada contoh-contoh sebelumnya, proses yang terjadi hanya satu langkah. Pada umumnya, fungsi yang kita temui memiliki lebih dari satu langkah. Perhatikan contoh untuk fungsi yang dapat dipandang menjadi dua langkah berikut.

Contoh 4. Fungsi \(f(x) = 2x + 7\) dapat kita pandang sebagai "kalikan dengan dua, lalu hasilnya ditambah tujuh" 

Seperti kamu lihat, \(x\) selalu menjadi tokoh utama sebagai "objek" yang kita proses dalam fungsi kita. 

Hal terpenting dalam melihat fungsi sebagai suatu proses adalah memahami urutan operasi yang terjadi pada fungsi tersebut. Pada Contoh 4 di atas, operasi kali lebih dahulu kita lakukan, baru hasilnya kita tambahkan dengan \(7\).

Perhatikan contoh yang lebih kompleks berikut.

Contoh 5. Apa proses yang terjadi pada fungsi \(f\) yang didefinisikan dengan \(f(x) = \frac{2x - 3}{5}\)? Proses yang terjadi dapat ditulis sebagai berikut.

  1. Kalikan \(x\) dengan \(2\): \(2x \) 
  2. Kurangi hasilnya dengan \(3\): \(2x - 3\)
  3. Bagi hasilnya dengan \(5\): \(\frac{2x - 3}{5}\) 

Kita juga perlu tau cara untuk mengubah proses menjadi suatu fungsi.

Contoh 6. Proses berikut

  1. bagi \(x\) dengan \(2\)
  2. pangkatkan hasilnya dengan \(3\)
  3. tambahkan hasilnya dengan 1
dapat dituliskan ke dalam bentuk fungsi sebagai \(f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^3 + 1\).

Sekarang, setelah kamu memandang fungsi sebagai suatu proses, kita bisa memahami invers fungsi dengan lebih baik. Kita akan menjawab pertanyaan sebelumnya, sebenarnya apasih invers dari suatu fungsi?

Arti dari invers fungsi

Perhatikan kembali Contoh 2 di atas. Kira-kira apakah yang dimaksud dengan invers dari fungsi "pasang kaos kaki"? Yup. Betul sekali. Inversnya adalah "lepas kaos kaki". Sampai sini apakah kamu sudah paham arti dari "kebalikan" itu? Dalam hal fungsi, kebalikan di sana artinya adalah kebalikan dari proses yang kita lakukan untuk menjadikannya ke kondisi semula. Tentu saja untuk mengembalikan kaos kaki yang sudah terpasang kita hanya perlu melepasnya, kan?



Contoh 7. Invers dari "kalikan dua" adalah "bagi dua". Dengan kata lain, invers dari \(f(x) = 2x\) adalah \(f^{-1}(x) = \frac{x}{2}\)

Lalu bagaimana untuk fungsi yang lebih kompleks? Perhatikan contoh berikut.

Contoh 8. Invers dari "pasang kaos kaki, lalu pasang sepatu" adalah "lepas sepatu, lalu lepas kaos kaki." 


Perhatikan Contoh 8 di atas. Tentu saja saat kita ingin membalik suatu fungsi, kita mulai dari yang terakhir dulu kan? Kita harus melepas sepatu dulu, baru melepas kaos kaki. Contoh 8 merupakan salah contoh sifat dari invers fungsi komposisi

Untuk sebarang fungsi \(f\) dan \(g\) berlaku sifat \[(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}.\]

Cara mencari invers dari suatu fungsi

Setidaknya terdapat dua cara untuk mencari invers dari suatu fungsi. Cara pertama merupakan cara yang cukup mudah dan sebenarnya sudah pernah kita lakukan pada pembahasan sebelumnya, yaitu dengan memandang fungsi sebagai proses. Cara kedua mungkin sudah kamu ketahui, yaitu dengan menyamakan dengan \(y\) lalu menyelesaikan persamaan tersebut untuk \(x\). Apa kelebihan dan kekurangan kedua cara ini? Simak pembahasannya sebagai berikut.

Cara mencari invers fungsi dengan melihatnya sebagai proses

Cara pertama ini bergantung pada bisa atau tidaknya kita membuat suatu fungsi menjadi suatu proses. Jika bisa, invers fungsi tersebut akan dapat dicari dengan mudah. Mungkin kalau saya mau sedikit nakal saya akan mengubah judul tulisan ini menjadi clickbait dengan menulis "cara cepat mencari invers fungsi". Karena cara ini memang cukup cepat untuk fungsi-fungsi tertentu. Hanya saja, kita harus paham dengan proses yang terjadi pada fungsi tersebut.

Contoh 9. Pada Contoh 5, kita sudah tahu proses yang terjadi pada fungsi \(f(x) = \frac{2x - 3}{5}\), yaitu

  1. Kalikan \(x\) dengan \(2\): \(2x\)
  2. Kurangi hasilnya dengan \(3\): \(2x - 3\)
  3. Bagi hasilnya dengan \(5\): \(\frac{2x - 3}{5}\) 
Kebalikan dari proses ini adalah
  1. Kalikan \(x\) dengan \(5\): \(5x\)
  2. tambahkan hasilnya dengan \(3\): \(5x + 3\)
  3. bagi hasilnya dengan \(2\): \(\frac{5x + 3}{2}\)
yang dapat dituliskan sebagai \(f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}\)


Apa kekurangan dari cara ini? Cara ini hanya bisa dilakukan kepada fungsi-fungsi yang dapat kita buat dengan jalan prosesnya. Perhatikan contoh berikut

Contoh 10. Tentukan invers dari fungsi yang didefinisikan dengan \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) untuk \(x\) tidak sama dengan \(1\). 

Perhatikan bahwa pada fungsi tersebut terdapat dua buah nilai \(x\) yang terpisah. Ini menyebabkan kita tidak dapat dengan mudah menentukan proses yang terjadi.

Berarti tidak bisa pakai cara ini dong?

Bisa. Hanya saja kita butuh tenaga ekstra untuk mengubah fungsi tersebut agar hanya terdapat satu buah nilai \(x\). Ini dapat kita lakukan sebagai berikut.

\begin{align} f(x) &= \frac{2x + 1}{x-1} \\&= \frac{2x - 2 + 3}{x-1} \\&= \frac{2(x-1) + 3}{x-1} \\&= \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{3}{x-1} \\&= 2 + \frac{3}{x-1}  \end{align}

Dengan demikian, fungsi tersebut dapat kita tuliskan sebagai \(f(x) = \frac{3}{x-1} + 2\). Lalu proses seperti apa yang terjadi pada fungsi tersebut? Proses ini adalah

  1. Kurangi \(x\) dengan \(1\): \(x - 1\)
  2. bagi hasilnya  dengan \(3\): \(\frac{x - 1}{3}\)
  3. balik hasilnya: \(\frac{3}{x - 1}\)
  4.  tambahkan hasilnya dengan \(2\): \(\frac{3}{x-1} +2\)
Dengan demikian, invers fungsinya memiliki proses

  1. kurangi \(x\) dengan \(2\): \(x - 2\)
  2. balik hasilnya: \(\frac{1}{x-2}\)
  3. kalikan hasilnya dengan \(3\): \(\frac{3}{x-2}\)
  4. tambahkan dengan \(1\): \(\frac{3}{x-2} + 1\)
Invers dari fungsi ini adalah \(f^{-1}(x) = \dfrac{3}{x-2} + 1\) untuk \(x\) tidak sama dengan \(2\). Lebih lanjut, kita bisa ubah menjadi \begin{align*}f^{-1}(x) &= \frac{3}{x-2} + 1\\&= \frac{3}{x-2} + \frac{x-2}{x-2}\\ &= \frac{x + 1}{x-2}\end{align*}

Cukup panjang bukan? Inilah salah satu kekurangan cara pertama ini. Jika proses tersebut tidak terlihat dengan jelas, invers fungsi tersebut tidak dapat dicari.

Cara mencari invers fungsi dengan menyamadengankan dengan \(y\)

Cara ini merupakan cara standar yang sering diajarkan di sekolah. Cara mencari invers fungsi dengan menggunakan cara bisa dikatakan global karena dapat diterapkan kepada sebagian besar fungsi. Sayangnya, cara ini seringkali tidak dapat menjelaskan arti dari invers suatu fungsi.

Cara ini bertumpu pada manipulasi aljabar. 

Contoh 11. Contoh 5 dapat kita selesaikan sebagai berikut. \begin{align*}\frac{2x - 3} {5}&=y \\ 2x - 3 &= 5y \\ 2x &= 5y + 3\\ x &= \frac{5y + 3}{2}\end{align*}

Dengan demikian, \(f^{-1}(y) = \frac{5y+3}{2}\). Variabel \(y\) di sana hanyalah penanda tempat. Bisa kita gantikan dengan variabel apa saja. Umumnya, kita akan memakai \(x\) lagi untuk variabel tersebut.

Soal Latihan

Soal latihan akan ditambahkan kemudian.