Pemfaktoran kuadrat sempurna dan selisih kuadrat

Pemfaktoran merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Kita akan membahas dua pemfaktoran khusus yang sering dipakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Selain itu, tersedia juga banyak contoh dan latihan soal yang bisa kamu coba.

Pemfaktoran dengan Menggunakan Bentuk Khusus

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas cara memfaktorkan bentuk kuadrat dalam bentuk umum, yaitu: \[ax^2 + bx + c\]

Selain bentuk tersebut, adakalanya kita menemukan bentuk khusus dalam persamaan kuadrat. Cara memfaktorkannya pun sedikit berbeda dengan persamaan kuadrat biasa. Meskipun cara biasa masih tetap bisa digunakan, bentuk ini dapat kita selesaikan dengan lebih cepat dibandingkan bentuk biasa. Beberapa bentuk khusus tersebut di antaranya adalah bentuk selisih dua kuadrat dan bentuk kuadrat sempurna. Pada artikel kali ini, kita akan membahas cara memfaktorkan dua bentuk khusus persamaan kuadrat tersebut.

Memfaktorkan Bentuk Selisih Kuadrat

Untuk memahami pemfaktoran bentuk selisih kuadrat, pertama coba kita kalikan bentuk \((x-n)(x+n)\) seperti berikut

\begin{align*}(x-n)(x+n) &= x^2 + nx - nx - n^2 \\ &= x^2 - n^2 \end{align*}

Dari hasil perkalian dua faktor linear \(x-n\) dan \(x+n\) tersebut, ternyata kita memperoleh satu bentuk baru yaitu \(x^2-n^2\), yang disebut sebagai selisih kuadrat. Mengapa disebut demikian? Tentu saja karena bentuk tersebut terdiri atas 'kuadrat dikurang kuadrat', sehingga lebih singkat kita menyebutnya dengan selisih kuadrat.

Bentuk Pemfaktoran Selisih Kuadrat
\((a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)\)

Bentuk selisih kuadrat tersebut merupakan salah satu bentuk yang paling sering dipakai pada berbagai jenis persoalan matematika, mulai dari soal yang sederhana, sampai soal yang cukup sulit. Kita akan bahas pemakaiannya secara bertahap dari yang paling mudah.

Contoh 1. Faktor dari \(x^2-3^2\) adalah

Solusi

\(x^2-3^2\) sudah berbentuk kuadrat dikurang kuadrat, sehingga dapat langsung difaktorkan menjadi

\[x^2-3^2=(x-3)(x+3)\]

Untuk soal pertama, bisa dimengerti, kan? Kita lanjut ke contoh soal berikutnya.

Contoh 2. Tentukan faktor dari:

  1. \(x^2-49\)
  2. \(25-y^2\)

Solusi

Untuk contoh soal 2 ini, kita tidak akan langsung memfaktorkannya, terlebih dahulu kita buat bentuk kuadrat dikurang kuadrat-nya, dengan langkah-langkah berikut.

  1. Mengubah \(x^2-49\) menjadi bentuk kuadrat dikurang kuadrat
    \[x^2-49=x^2-7^2\] Memfaktorkan bentuk selisih kuadrat yang sudah didapat \[x^2-7^2=(x-7)(x+7)\]
  2. Dengan cara yang sama, kita ubah \(25\) menjadi \(5^2\), sehingga \begin{align*} 25-y^2&=5^2-y^2\\ &=(5-y)(5+y) \end{align*}

Berikutnya kita akan mencoba tipe soal yang sedikit berbeda, dengan tipe variabel yang memiliki koefisien di depannya, yaitu: \[a^2x^2-b^2\] dengan \(a\) dan \(b\) adalah suatu bilangan kuadrat. Berikut contohnya:

Contoh 3. Faktor dari \(4x^2 - 81\) adalah

Solusi

Mengubah setiap angka yang ada menjadi bentuk kuadratnya, \(4=2^2\) serta \(81=9^2\), sehingga \[4x^2-81=2^2x^2-9^2\] Membuat bentuk kuadrat dikurang kuadrat, \(2^2x^2\) dapat kita gabung menjadi \((2x)^2\) \[2^2x^2-9^2=(2x)^2-9^2\] Menentukan faktor dari bentuk yang sudah didapat \[(2x)^2-9^2=(2x-9)(2x+9)\]

Soal berikutnya adalah lanjutan dari soal nomor 3, namun dengan bentuk yang sedikit lebih kompleks.

Contoh 4. Tentukan faktor dari \(25m^2-16n^2\)

Solusi

Mengubah setiap angka yang ada menjadi bentuk kuadratnya \[25m^2-16n^2=5^2m^2-4^2n^2\] Membuat bentuk kuadrat dikurang kuadrat \[5^2m^2-4^2n^2=(5m)^2-(4n)^2\] Menentukan faktor dari selisih kuadrat yang didapat

\[(5m)^2-(4n)^2=(5m-4n)(5m+4n)\]

Pemfaktoran selesai

Contoh soal berikutnya akan sedikit berbeda, meskipun tidak sepenuhnya berbeda, sih, karena kita masih akan memfaktorkan bentuk selisih kuadrat. Hanya saja, jika pada contoh-contoh sebelumnya kita selalu bisa membuat angka kuadrat, maka kali ini kita akan menemukan angka yang tidak memiliki bentuk kuadratnya.

Seperti apa maksudnya? Biar nggak bingung, langsung aja yuk kita bahas.

Contoh 5. Tentukan faktor-faktor dari:

  1. \(3x^2-27\)
  2. \(8p^2-72\)

Solusi

  1. Pada bentuk \(3x^2-27\), angka \(3\) dan \(27\) bukan merupakan bilangan kuadrat, tetapi sama-sama memiliki faktor \(3\), sehingga bisa kita tulis sebagai \[3x^2-27=3\cdot x^2-3\cdot 9\] Dengan sifat distributif, kita bisa keluarkan angka \(3\), sehingga \[3\cdot x^2-3\cdot 9=3(x^2-9)\] Berikutnya membuat bentuk kuadrat dikurang kuadrat untuk bentuk yang di dalam kurung \[3(x^2-9)=3(x^2-3^2)\] Memfaktorkan bentuk yang sudah didapat \[3(x^2-3^2)=3(x-3)(x+3)\] Pemfaktoran selesai
  2. Dengan cara yang sama seperti soal nomor 1, maka faktor dari \(8x^2-72\) adalah: \begin{align*} 8x^2-72&= 8 \cdot x^2 - 8\cdot 9\\ &=8(x^2 - 9)\\ &= 8(x^2 - 3^2)\\ &= 8(x-3)(x+3) \end{align*}

Ingatlah bahwa bentuk persamaan ini berlaku bolak-balik, yaitu:
Jika \[a^2-b^2=(a-b)(a+b),\] maka \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\] Sebagai contoh, \[(5-x)(5+x)=5^2-x^2\] Kita bisa menggunakan ini untuk mengecek benar tidaknya pemfaktoran yang telah kita peroleh.

Well, itu adalah beberapa contoh bentuk selisih kuadrat dan cara memfaktorkannya, berikutnya kita akan membahas bentuk faktor khusus lainnya, yaitu kuadrat sempurna.

Memfaktorkan Kuadrat Sempurna

Bentuk khusus berikutnya ialah kuadrat sempurna. Untuk memahami bentuk ini, pertama kita lihat hasil perkalian bentuk-bentuk berikut:

\begin{align*}(x+n)^2 &= (x+n)(x+n) \\ &= x^2 + xn + xn + n^2 \\ &= x^2 + 2xn + n^2 \end{align*}

dan \begin{align*} (x-n)^2 &= (x-n)(x-n) \\ &= x^2 - xn - xn + n^2 \\ &= x^2 - 2nx + n^2 \end{align*}

Hasil perkalian kedua bentuk tersebut, kemudian kita sebut sebagai bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk Pemfaktoran Kuadrat Sempurna
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)

Untuk lebih memahami bagaimana menggunakan bentuk kuadrat sempurna ini, mari kita bahas contohnya satu persatu dari yang paling mudah.

Contoh 6. Faktor dari \(x^2+2\cdot 2x + 2^2\) adalah

Solusi

Pada soal ini kita telah mempunyai bentuk umum dari kuadrat sempurna, yaitu \(a^2+2ab+b^2\), dengan \(a^2=x^2\), \(2ab=2\cdot 2x\), serta \(b^2=2^2\), yang artinya \(a=x\) dan \(b=2\). Selanjutnya kita dapatkan faktornya adalah

\[a^2+2(a)(b)+b^2=(a+b)^2,\] sehingga

\[x^2+2\cdot 2x + 2^2=x^2+2(x)(2) + 2^2 = (x+2)^2\]

Contoh soal yang pertama ini cukup mudah, bukan? Kita bisa langsung menentukan faktornya tanpa mengubah apapun. Oke, kita lanjut ke soal berikutnya.

Contoh 7. Tentukan faktor-faktor dari:

  1. \(x^2+6x+9\)
  2. \(p^2-16p+64\)

Solusi

Kita mempunyai contoh masing-masing satu untuk setiap operasi pada kuadrat sempurna, yaitu penjumlahan dan pengurangan.
  1. Pertama, kita harus mengubah suku tengah menjadi perkalian dengan angka \(2\), sebagai berikut

    \[x^2+6x+9=x^2+2\cdot 3x+9\]

    Berikutnya mengubah ke bentuk umumnya yaitu \(a^2+2ab+b^2\)

    \[x^2+2\cdot 3x+9=x^2+2(x)(3)+3^2\]

    Memfaktorkan bentuk yang sudah didapat menjadi kuadrat sempurna \[x^2+2(x)(3)+3^2=(x+3)^2\] Pemfaktoran selesai
  2. Berdasarkan soal nomor 1, kita dapat memfaktorkan \(p^2-16p+64\) dengan cara yang sama, hanya saja hasil faktornya akan memiliki operasi pengurangan.

    \begin{align*} p^2-16p+64&=p^2-2\cdot 8p + 8^2\\ &=p^2 - 2 (p)(8) +8^2\\ &=(p-8)^2 \end{align*}

Kita lanjut ke contoh soal berikutnya, dengan menambahkan suatu koefisien pada variabelnya.

Contoh 8. Faktor dari \(16r^2-56r+49\)

Solusi

Berdasarkan beberapa contoh yang sudah kita bahas sebelumnya, maka faktor yang kita dapatkan adalah

\begin{align*} 16r^2-56r+49&=4^2r^2-2\cdot7\cdot 4r-7^2\\ &=(4r)^2-2(4r)(7)-7^2\\ &=(4r-7)^2 \end{align*}

Ingat lagi bahwa, angka pengali \(2\) harus sama dengan kedua kuadrat di suku pertama dan terakhir. Pada soal ini pengali \(2\)-nya yaitu \(4r\) dan \(7\).

Oke, berikutnya adalah contoh soal dengan angka yang tidak bisa kita tentukan bentuk kuadartnya secara langsung, sama seperti pada bentuk selisih kuadrat sebelumnya.

Contoh 9. Tentukan faktor dari \(5x^2-40x+80\)

Solusi

Dari soal tersebut, dapat kita lihat bahwa masing-masing angka yang ada jika kita uraikan akan memiliki pengali \(5\), yaitu \(5=5\cdot 1\); \(40=5\cdot 8\); serta \(80=5\cdot 16\). Dari sini maka faktor dari ekspresi tersebut dapat kita tentukan sebagai berikut.

\begin{align*} 5x^2-40x+16&=5\cdot x^2 - 5\cdot 8x + 5\cdot 16\\ &=5\cdot (x^2 - 8x +16)\\ &=5 \cdot [x^2 - 2 (x)(4) + 4^2]\\ &=5(x-4)^2 \end{align*}

Untuk membuktikan kebenaran dari faktor yang telah kita dapatkan, kita dapat mengalikan kembali faktornya, yaitu:

\[5(x-4)^2=5(x-4)(x-4)=5(x^2-8x+16)=5x^2-40x+80\]

Proses mengecek kebenaran jawaban pada contoh nomor 9 dapat selalu kita lakukan untuk memastikan apakah jawaban yang kita berikan sudah tepat atau belum. Kalau kalian penasaran, kalian bisa mencobanya pada soal-soal yang telah kita kerjakan sebelumnya.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Bentuk Khusus

Setelah belajar cara memfaktorkan, kini saatnya kita membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk khusus yang telah kita bahas sebelumnya. 'Menyelesaikan' di sini maksudnya ialah kita menentukan solusi atau pembuat nol dari persamaan tersebut. Langkah yang digunakan untuk menentukan solusi ini sama saja dengan memfaktorkan, tetapi dengan langkah tambahan di bagian akhir.

Untuk menentukan solusi persamaan kuadrat, kita akan membahas sifat-sifat yang digunakan dalam pengerjaan beserta contoh-contoh yang diberikan. Di bawah ini adalah sifat yang biasa digunakan untuk menentukan solusi bentuk khusus selisih kuadrat

Perkalian dua bilangan bernilai nol hanya jika salah satu dari bilangan tersebut juga bernilai nol. Misalkan \(a\) dan \(b\) adalah suatu bilangan tertentu, berlaku:
\[a\cdot b=0,~\text{maka}~a=0~\text{atau}~b=0\]

Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 10. Solusi dari persamaan berikut adalah:
\[x^2-64=0\]

Solusi

Pertama kita faktorkan terlebih dahulu persamaan yang diberikan agar memiliki bentuk yang sama dengan sifat yang diberikan sebelumnya, yaitu \(a\cdot b=0\).

\begin{align*} x^2-64&=0\\ x^2-8^2&=0\\ (x-8)(x+8)&=0 \end{align*}

Dari faktor yang kita dapat, maka berdasarkan sifat yang diberikan berlaku

\[x-8=0~\text{atau}~ x+8=0\]

dan solusi dari persamaan yang diberikan adalah: \[x-8=0~ \to ~x=8\] atau \[x+8=0~\to~x=-8\]

Sifat berikutnya ialah sifat yang digunakan untuk menentukan solusi dari persamaan kuadrat bentuk kuadrat sempurna. Simak sifat berikut ini.

Jika hasil kuadrat dari suatu bilangan bernilai nol, maka bilangan tersebut juga bernilai nol, atau kita bisa menuliskannya sebagai: \[a^2=0~ \text{maka} ~a=0\]

Berikut adalah contoh untuk sifat yang diberikan

Contoh 11. Solusi dari persamaan berikut adalah \[x^2+14x+49=0\]

Solusi

Pertama, kita faktorkan terlebih dahulu persamaan kuadrat yang diberikan agar memiliki bentuk \(a^2=0\).

\begin{align*} x^2+14x+49&=0\\ x^2+2(x)(7)+7^2&=0\\ (x+7)^2&=0 \end{align*}

Dari faktor yang telah didapat, berdasarkan sifat yang diberikan maka berlaku \[x+7=0,\] sehingga solusi dari persamaannya adalah: \[x+7=0~\to~x=-7\]

Latihan Soal

Untuk lebih memahami pembahasan yang sudah kita bahas sebelumnya, kamu bisa coba untuk menyelesaikan soal-soal latihan berikut. Sebagian besar soal-soal ini diambil dari Algebra 2 concept and skills .

Review Konsep

  1. Sebutkan dua bentuk pemfaktoran khusus. Berikan contoh untuk masing-masing bentuk.
  2. Bagaimana kita bisa tahu kalau faktor dari kuadrat sempurna adalah jumlah atau selisih?

Solusi:

No. 1
Dua bentuk pemfaktoran khusus di antaranya adalah bentuk selisih kuadrat dan kuadrat sempurna
No. 2
Kita dapat membedakan selisih atau jumlah berdasarkan suku tanpa kuadratnya. Jika suku tersebut positif, maka faktornya merupakan jumlah. Sebaliknya, negatif berarti selisih.

Cek Kemampuan

A. Faktorkan ekspresi aljabar berikut
  1. \(x^2 - 16\)
  2. \(x^2 - 144\)
  3. \(z^2 - 49\)
  4. \(4x^2 - 1\)
  5. \(x^2 + 22x + 121\)
  1. \(y^2 - 4y + 4\)
  2. \(81x^2 - 18x + 1\)
  3. \(2r^2 - 18\)
  4. \(3s^2 - 75\)

Solusi:

No 3.

\begin{align*} x^2 - 16 &= x^2 - 4^2\\ &= (x - 4)(x + 4) \end{align*}

No. 4

\begin{align*} x^2 - 144 &= x^2 - 12^2\\ &= (x - 12)(x + 12) \end{align*}

No. 5

\begin{align*} z^2 - 49 &= z^2 - 7^2\\ &= (z - 7)(z + 7) \end{align*}

No. 6

\begin{align*} 4x^2 - 1 &= 2^2x^2 - 1^2\\ &= (2x)^2 - 1^2\\ &= (2x - 1)(2x + 1) \end{align*}

No. 7

\begin{align*} x^2 + 22x + 121 &= x^2 + 2\cdot 11 x + 11^2\\ &= (x + 11)^2 \end{align*}

No. 8

\begin{align*} y^2 - 4y + 4 &= y^2 -2\cdot 2y + 2^2\\ &= (y - 2)^2 \end{align*}

No. 9

\begin{align*} 81x^2 - 18x + 1 &= 9^2 x^2 - 2\cdot 9x \cdot 1 + 1^2\\ &= (9x)^2 - 2 \cdot 9x \cdot 1 + 1^2\\ &= (9x - 1)^2 \end{align*}

No. 10

Pertama kita keluarkan faktor \(2\) agar bentuknya menjadi selisih kuadrat \begin{align*} 2r^2 - 18 &= 2r^2 - 2\cdot 9\\ &= 2(r^2 - 9)\\ &= 2(r^2 - 3^2)\\ &= 2(r^2 - 3)(r+3) \end{align*}

No. 11

\begin{align*} 3s^2 - 75 &= 3s^2 - 3\cdot 25\\ &= 3(s^2 - 25)\\ &= 3(s^2 - 5^2)\\ &= 3(s - 5)(s + 5) \end{align*}

B. Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut.
  1. \(n^2 - 121 = 0\)
  2. \(x^2 + 2x + 1 = 0\)
  3. \(p^2 - 14p + 49 = 0\)
  1. \(-36 +x^2 = 0\)
  2. \(3y^2 - 18y + 27 = 0\)
  3. \(5x^2 - 125 = 0\)

Solusi:

No. 12

\begin{align*} n^2 - 121 &= 0\\ n^2 - 11^2 &= 0\\ (n - 11)(n + 11) &=0\\ \end{align*} \(n - 11 = 0\) atau \(n + 11 = 0\) .
\(\boxed{n = 11}\) atau \(\boxed{n = -11}\).

No. 13

\begin{align*} x^2 + 2x + 1 &= 0\\ x^2 + 2\cdot x \cdot 1 + 1^2 & = 0\\ (x + 1)^2 & = 0 \end{align*} \((x + 1) = 0\) maka \(\boxed{x = -1}\)

No. 14

\begin{align*} p^2 - 14p + 49 &= 0\\ p^2 - 2 \cdot p \cdot 7 + 7^2 &=0\\ (p - 7)^2 &= 0 \end{align*} \(p - 7 = 0\) sehingga \(\boxed{p = 7}\).

No. 15

\begin{align*} -36 + x^2 &= 0\\ x^2 - 36 &= 0\\ x^2 - 6^2 &= 0\\ (x - 6)(x + 6) &= 0 \end{align*} \(x - 6 = 0\) atau \(x +6= 0\)
\(\boxed{x = 6}\) atau \(\boxed{x = -6}\)

No. 16

\begin{align*} 3y^2 - 18y + 27 &= 0\\ 3\cdot y^2 - 3\cdot 6y + 3\cdot 9 &= 0\\ 3(y^2 - 6y + 9) &= 0\\ 3(y^2 - 2\cdot y\cdot 3 + 3^2) &= 0\\ 3(y - 3)^2 &= 0 \end{align*} \((y - 3) = 0\) sehingga \(\boxed{y = 3}\).

No. 17

\begin{align*} 5x^2 - 125 &= 0\\ 5x^2 - 5\cdot 25 &= 0\\ 5(x^2 - 25) &= 0\\ 5(x^2 - 5^2) &= 0\\ 5(x - 5)(x + 5) &= 0 \end{align*} \(x - 5 = 0\) atau \(x + 5 = 0\)
\(\boxed{x = 5}\) atau \(\boxed{x = -5}\).

Latihan dan Aplikasi

C. Faktorkan ekspresi-ekspresi berikut.
  1. \(x^2 - 4\)
  2. \(9x^2 - 30x + 25\)
  3. \(4k^2 - 49\)
  4. \(x^2 - 26x + 169\)
  5. \(\frac{1}{9}x^2 - 64\)
  6. \(36y^2 - 84y + 49 \)
  7. \(t^2 - 81\)
  8. \(m^2 + 12m + 36\)
  9. \(100x^2 - 1\)
  1. \(x^2 - 225\)
  2. \(121 - \frac{1}{4}x^2\)
  3. \(49x^2 - 81\)
  4. \(x^2 + 8x + 16\)
  5. \(x^2 + 28x + 196\)
  6. \(w^2 - 30w + 225\)
  7. \(x^2 + 32x + 256\)
  8. \(16x^2 - 8x + 1\)
  9. \(4q^2 - 36q + 81\)

Solusi:

No. 18

\begin{align*} x^2 - 4 &= x^2 - 2^2\\ &= (x - 2)(x + 2) \end{align*}

No. 19

\begin{align*} 9x^2 - 30x + 25 &= 3^2x^2 - 2\cdot 3x\cdot 5 + 5^2\\ & (3x)^2 - 2\cdot 3x\cdot 5 + 5^2\\ &= (3x - 5)(3x + 5) \end{align*}

No. 20

\begin{align*} 4k^2 - 49 &= 2^2k^2 - 7^2\\ &= (2k)^2 - 7^2\\ &= (2k - 7)(2k + 7) \end{align*}

No. 21

\begin{align*} x^2 - 26x + 169 &= x^2 - 2 c\dot x \cdot 13 + 13^2\\ &= (x - 13)^2\\ \end{align*}

No. 22

\begin{align*} \frac{1}{9}x^2 - 64 &= \frac{1}{3^2} x^2 - 8^2\\ &= \left(\frac{1}{3} x\right)^2 - 8^2\\ &= \left(\frac{1}{3}x - 8\right)\left(\frac{1}{3}x + 8\right) \end{align*}

No. 23

\begin{align*} 36y^2 - 84y + 49 &= 6^2 y^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 + 7^2\\ &= (6y - 7)^2 \end{align*}

No. 24

\begin{align*} t^2 - 81 &= t^2 - 9^2\\ &= (x - 9)(t + 9) \end{align*}

No. 25

\begin{align*} m^2 + 12m + 36 &= m^2 + 2\cdot m \cdot 6 + 6^2\\ &= (m + 6)^2 \end{align*}

No. 26

\begin{align*} 100x^2 - 1 &= 10^2 x^2 - 1^2\\ &= (10x - 1) \end{align*}

No. 27

\begin{align*} x^2 - 225 &= x^2 - 15^2\\ &= (x - 15)(x + 15)\\ \end{align*}

No. 28

\begin{align*} 121 - \frac{1}{4}x^2 &= 11^2 - \frac{1}{2^2} x^2\\ &= \left(11 - \frac{1}{2}x\right)\left(11 + \frac{1}{2}x\right) \end{align*}

No. 29

\begin{align*} 49x^2 - 81 &= 7^2x^2 - 9^2\\ &= (7x - 9)(7x + 9) \end{align*}

No. 30

\begin{align*} x^2 + 8x + 16 &= x^2 + 2\cdot x \cdot 4 + 4^2\\ &= (x + 4)^2 \end{align*}

No. 31

\begin{align*} x^2 + 28x + 196 &= x^2 + 2\cdot x \cdot 14 + 14^2\\ &= (x + 14)^2 \end{align*}

No. 32

\begin{align*} w^2 - 30w + 225 &= w^2 - 2\cdot w \cdot 15 + 15^2\\ &= (w - 15)^2 \end{align*}

No. 33

\begin{align*} x^2 + 32x + 256 &= x^2 + 2\cdot x \cdot 16 + 16^2\\ &= (x + 16)^2\\ \end{align*}

No. 34

\begin{align*} 16x^2 - 8x + 1 &= 4^2 x^2 - \cdot 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2\\ &= (4x - 1)^2 \end{align*}

No. 35

\begin{align*} 4q^2 - 36q + 81 &= 2^2q^2 - 2\cdot 2q\cdot 9 + 9^2\\ &= (2q - 9)^2 \end{align*}

D. Faktorkan ekspresi-ekspresi berikut.
  1. \(3x^2 - 27\)
  2. \(5r^2 + 50r + 125\)
  3. \(28x^2 - 84x + 63\)
  4. \(72x^2 - \frac{8}{9}\)
  5. \(2n^2 - 128\)
  6. \(48x^2 + 24x + 3 \)
  1. \(99z^2 - 44\)
  2. \(12x^2 - 36x + 27\)
  3. \(4x^2 - 64\)
  4. \(32x^2 - 48x + 18\)
  5. \(8x^2 + 120x + 450\)
  6. \(11y^2 - 44\)

Solusi:

No. 36

\begin{align*} 3x^2 - 27 &= 3(x^2 - 9)\\ &= 3(x^2 - 3^2)\\ & 3(x - 3)(x + 3) \end{align*}

No. 37

\begin{align*} 5r^2 + 50r + 125 &= 5(r^2 + 10r + 25)\\ &= 5(r^2 +2\cdot r \cdot 5 + 5^2)\\ &= 5(r + 5)^2 \end{align*}

No. 38

\begin{align*} 28x^2 - 84x + 63 &= 7\cdot 4x^2 - 7\cdot 12x + 7\cdot 9\\ &= 7(4x^2 - 12x + 9)\\ &= 7(2^2x^2 - 2\cdot 2x\cdot 3 + 3^2)\\ & 7(2x - 3)^2 \end{align*}

No. 39

\begin{align*} 72x^2 - \frac{8}{9} &= 8\cdot 9x^2 - 8\cdot \frac{1}{9}\\ &= 8\left(9x^2 - \frac{1}{9}\right)\\ &= 8\left(3^2x^2 - \frac{1}{3^2}\right)\\ &= 8 \left(3x - \frac{1}{3}\right)\left(3x + \frac{1}{3}\right) \end{align*}

No. 40

\begin{align*} 2n^2 - 128 &= 2(n^2 - 64)\\ &= 2(n^2 - 8^2)\\ &= 2(n - 8)(n + 8) \end{align*}

No. 41

\begin{align*} 48x^2 + 24x + 3 &= 3\cdot 16x^2 + 3\cdot 8x + 3\cdot 1\\ &= 3(16x^2 + 8x + 1)\\ &= 3(4x + 1)^2 \end{align*} (lihat no 34)

No. 42

\begin{align*} 99z^2 - 44 &= 11(9z^2 - 4)\\ &= 11((3z)^2 - 2^2)\\ & 11(3z - 2)(3z + 2) \end{align*}

No. 43

\begin{align*} 12x^2 - 36x + 27 &= 3(4x^2 - 12x + 9)\\ &= 3((2x)^2 - 2\cdot 2x \cdot 3 + 3^2)\\ & 3(2x - 3)^2 \end{align*}

No. 44

\begin{align*} 4x^2 - 64 &= 4(x^2 - 16)\\ &= 4(x^2 - 4^2)\\ & 4(x - 4)(x + 4) \end{align*}

No. 45

\begin{align*} 32x^2 - 48x + 18 &= 2(16x^2 - 24x +9)\\ &= 2((4x)^2 - 2\cdot 4x \cdot 3 + 3^2\\ &= 2(4x - 3)^2 \end{align*}

No. 46

\begin{align*} 8x^2 + 120x + 450 &= 2(4x^2 + 60x + 225)\\ &= 2((2x)^2 + 2\cdot 2x\cdot 15 + 15^2)\\ &= 2(2x + 15)^2 \end{align*}

No. 47

\begin{align*} 11y^2 - 44 &= 11(y^2 - 4)\\ &= 11(y - 2)(y + 2) \end{align*} (Lihat no 18.)

E. Selesaikan persamaan kuadrat berikut.
  1. \(16x^2 - 4 = 0\)
  2. \(2x^2 - 32x + 128 = 0 \)
  3. \(49b^2 = 256\)
  4. \(3x^2 - 72x = -432\)
  1. \(81y^2 + 54y + 9 = 0\)
  2. \(-72 + 2x^2 = 0\)
  3. \(-9x^2 = 42x + 49\)
  4. \(160t^2 = 480t - 360\)

Solusi:

No. 48

\begin{align*} 16x^2 - 4 &= 0\\ 4(4x^2 - 1) &= 0\\ 4((2x)^2 - 1^2) &= 0\\ 4(2x - 1)(2x + 1) &= 0 \end{align*} \(2x - 1 = 0\) atau \(2x + 1 = 0\)
\(2x = 1\) atau \(2x = -1\)
\(\boxed{x = \frac{1}{2}}\) atau \(\boxed{x = -\frac{1}{2}}\).

No. 49

\begin{align*} 2x^2 - 32x + 128 &= 0\\ 2(x^2 - 16x + 64) &= 0\\ 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) &= 0\\ 2(x - 8)^2 &=0 \end{align*} \(x - 8 = 0\) sehingga \(\boxed{x=8}\).

No. 50

\begin{align*} 49b^2 &= 256\\ 49b^2 - 256 &= 0\\ 7^2b^2 - 16^2 &=0\\ (7b)^2 - 16^2 &=0\\ (7b - 16)(7b + 16) &= 0 \end{align*} \(7b - 16 = 0\) atau \(7b + 16 = 0\)
\(7b = 16\) atau \(7b = -16\)
\(\boxed{b = \frac{16}{7}}\) atau \(\boxed{b = -\frac{16}{7}}\).

No. 51

\begin{align*} 3x^2 - 72x &= -432\\ 3x^2 - 72x + 432 &= 0\\ 3(x^2 - 24x +144) &= 0\\ 3(x - 12)^2 &= 0 \end{align*} \(x - 12 = 0\) sehingga \(\boxed{x = 12}\).

No. 52

\begin{align*} 81y^2 + 54y + 9 &= 0\\ 9(9y^2 + 6y + 1) &= 0\\ 9(3y + 1)^2 &= 0 \end{align*} \(3y + 1= 0\) sehingga \(\boxed{y = -\frac{1}{3}}\).

No. 53

\begin{align*} -72 + 2x^2 &= 0\\ 2x^2 - 72 &= 0\\ 2(x^2 - 36) &= 0\\ 2(x - 6)(x + 6) &= 0 \end{align*} \(x - 6 = 0\) atau \(x + 6= 0\)
\(\boxed{x = 6}\) atau \(\boxed{x =-6}\).

No. 54

Meskipun seringkali kita mengerjakan dengan bentuk ruas kanan sebagai \(0\), kita juga bisa mengerjakan dengan "memindahkan" semuanya ke ruas kanan sebagai berikut \begin{align*} -9x^2 &= 42x + 49\\ 0 &= 9x^2 + 42x + 49\\ 0 &= 3^2x^2 + 2\cdot 3x \cdot 7 + 7^2\\ 0 &= (3x + 7)^2 \end{align*} \(3x + 7 = 0\) sehingga \(\boxed{x = -\frac{7}{3}}\)

No. 55

\begin{align*} 160t^2 &= 480t - 360\\ 160t^2 - 480t + 360 &= 0\\ 40(4t^2 - 12t + 9) &= 0\\ 40(2^2t^2 - 2\cdot 2t \cdot 3 + 3^2) &= 0\\ 40(2t - 3)^2 &=0 \end{align*} \(2t - 3 = 0\) sehingga \(\boxed{t = \frac{3}{2}}\)

F. Tentukan pembuat nol (akar) dari fungsi-fungsi berikut.
  1. \(y = x^2 - 25\)
  2. \(y = x^2 - 81 \)
  3. \(y = 4x^2 + 20x + 25\)
  4. \(y = x^2 - 22x + 121\)
  1. \(y = 9x^2 - 64\)
  2. \(y = 36x^2 + 84x + 49\)
  3. \(y = 7x^2 - 28\)
  4. \(y = \frac{1}{2}x^2 + 6x + 18 \)

Solusi:

No. 56

Akar adalah yang membuat fungsi tersebut bernilai \(0\), yaitu \(y = 0\) sehingga \begin{align*} x^2 - 5^2 &= 0\\ (x - 5)(x + 5) &= 0 \end{align*} \(x - 5 = 0\) atau \(x + 5 = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -5\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x = 5, -5}\).

No. 57

\begin{align*} y &= 0\\ x^2 - 81 &= 0\\ (x - 9)(x + 9) &=0\\ \end{align*} \(x - 9 = 0\) atau \(x + 9 = 0\)
\(x = 9\) atau \(x = -9\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x=9,-9}\).

No. 58

\begin{align*} y &= 0\\ 4x^2 + 20x + 25 &= 0\\ 2^2x^2 + 2\cdot 2x\cdot 6 &= 0\\ (2x + 6)^2 &=0 \end{align*} \(2x + 6 = 0\). Diperoleh \(x = -\frac{6}{2} = -3\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x = -3}\).

No. 59

\begin{align*} y &= 0\\ x^2 - 22x + 121 &= 0\\ x^2 - 2\cdot x\cdot 11 + 11^2 &= 0\\ (x + 11)^2 &=0 \end{align*} \(x + 11 = 0\) sehingga \(x = -11\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x = -11}\).

No. 60

\begin{align*} y &= 0\\ 9x^2 - 64 &= 0\\ 3^2x^2 - 8^2 &= 0 (3x - 8)(3x + 8) &=0\\ \end{align*} \(3x - 8 = 0\) atau \(3x + 8 = 0\)
\(x =\frac{8}{3}\) atau \(x = -\fac{8}{3}\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x=\frac{8}{3},-\frac{8}{3}}\)

No. 61

\begin{align*} y &= 0\\ 36x^2 + 84x + 49 &= 0\\ 6^2x + 2\cdot 6x \cdot 7 + 7^2&= 0\\ (6x + 7)^2 &=0 \end{align*} \(6x + 7 = 0\) sehingga \(x = -\frac{7}{6}\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x = -\frac{7}{6}}\).

No. 62

\begin{align*} y &= 0\\ 7x^2 - 28 &= 0\\ 7(x^2 - 4) &= 0 7(x-2)(x + 2) &=0\\ \end{align*} \(x - 2 = 0\) atau \(x + 2 = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = -2\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x=2,-2}\)

No. 63

\begin{align*} y &= 0\\ \frac{1}{2}x^2 + 6x + 18 &= 0\\ \frac{1}{2}(x^2 + 12x + 36)&= 0\\ \frac{1}{2}(x + 6)^2 &=0 \end{align*} \(x + 6= 0\) sehingga \(x = -6\).
Jadi, akar dari fungsi tersebut adalah \(\boxed{x = -6}\).