Bentuk Persamaan kuadrat

Hello lagi!
Kali ini kita akan belajar tentang persamaan kuadrat dan bagaimana menyelesaikannya. Tapi apa itu persamaan kuadrat? Ok kita mulai dengan definisinya.

Apa itu persamaan kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan trinomial dengan pangkat tertinggi dua. Persamaan ini memiliki bentuk $$ax^2 + bx + c = 0$$ dengan \(a,b,\) dan \(c\) adalah konstanta dan \(a\neq 0\).

Ada istilah asing yang muncul di definisi ini. Trinomial. Apa kamu tahu apa itu trinomial? Kalau kamu pernah dengar polinomial, trinomial adalah kasus khususnya. Trinomial berarti polinomial yang terdiri dari tiga suku. Di atas kita memiliki tiga suku kan? Karena itu lah kita menyebutnya trinomial. Kita akan membahas polinomial lebih banyak di kesempatan yang lain.

Nah, jadi, beberapa persamaan berikut adalah persamaan kuadrat \begin{align} x^2 + 3x + 2 &= 0 \\ 4x^2 + 5x + 6 &= 0 \\ 2x^2 + x + 1 &= 0 \end{align} Tetapi variabel yang kita pakai tidak terbatas pada \(x\) saja. Kita bisa saja menggunakan variabel-variabel lain. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan kuadrat dalam \(x\). Persamaan \(y^2 - 1 = 0\) disebut persamaan kuadrat dalam \(y\) dan persamaan \(2r^2 + 3r + 1 =0 \) disebut persamaan kuadrat dalam \(r\) begitu pula dengan variabel lain.

Sebelumnya kita memberi syarat \(a\neq 0\). Kenapa kita memberi syarat ini? Perhatikan bahwa jika \(a = 0\) maka persamaan akan menjadi $$bx + c = 0$$ yang merupakan persamaan linier. Kita tidak mungkin memberi nama Persamaan kuadrat kalau kuadratnya aja ga ada, kan?

Akar Persamaan Kuadrat

Akar dari suatu persamaan kuadrat adalah nilai yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, akar dari suatu persamaan kuadrat adalah nilai yang membuat persamaan itu bernilai benar. Akar dari suatu persamaan kuadrat disebut juga dengan istilah solusi atau pembuat nol . Sebagai contoh, \(1\) adalah akar dari persamaan kuadrat $$x^2 - 1 = 0$$ karena saat kita ganti \(x =1\) kita mendapatkan \(1^2 - 1 = 1 - 1 = 0\). Tetapi apa cuma \(1\) yang menjadi solusi? Apa ada solusi lain? Perhatikan bahwa \(-1\) juga akan memenuhi persamaan ini. Karena \((-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0\). Jadi kita punya 2 buah akar untuk persamaan kuadrat \(x^2 - 1 = 0\), yaitu \(1\) atau \(-1\)

Kemudian akan timbul pertanyaan lagi, apakah cuma dua buah solusi? atau mungkin ada solusi lain? Well, persamaan kuadrat paling banyak punya 2 buah solusi. Koq paling banyak 2 solusi? buktinya? Kita akan buktikan nanti. Sebelum itu, kita akan membahas beberapa cara untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus.

Kita mulai ke bagian pertama

Cara I: Pemfaktoran

Beberapa persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan. Cara ini bertumpu pada fakta berikut yang berlaku di bilangan real.

Jika dua buah bilangan real dikalikan menghasilkan nol, maka salah satunya pastilah nol

Masih ingat bagaimana memfaktorkan? Pemfaktoran berawal dari perkalian. Jadi, mari kita ingat lagi bagaimana cara mengalikan dua buah bentuk linear \( (x + a)\).

Cara mengalikan dua buah bentuk linear \((x+a)\)

Simak contoh berikut. Andaikan kita ingin mengalikan \(x + 1\) dengan \(x + 2\) sebagai berikut \begin{align*} (x + 1)(x + 2) \end{align*} bentuk ini dapat kita kalikan menjadi \begin{align*} &(x + 1)(x + 2) \\&= x.x + x.2 + 1.x + 1.2 \\ &= x^2 + 2x + x + 2\\ &= x^2 + 3x + 2\end{align*} Kita juga perlu memperhatikan tanda positif dan negatif. Jangan sampai tanda-tanda ini tertinggal. Sebagai contoh, \begin{align*} &(x + 2)(x - 4) \\ &= x.x + x(-4) + 2.x + 2(-4) \\&= x^2 - 4x + 2x - 8 \\ &= x^2 - 2x - 8 \end{align*} Lalu bagaimana jika kita mengalikan yang lebih umum? misalnya yang berbentuk \begin{align*}(x + p)(x + q) \end{align*} Ok, mulai mengalikan dan hasilnya \begin{align*} &(x + p)(x + q) \\ &= x.x +x.q + p.x + pq \\&= x^2 + qx + px + pq \\ &= x^2 + (p + q)x + pq\end{align*} Hasil kita adalah \begin{align*} &(x + p)(x + q) \\&= x^2 + (p + q)x + pq \end{align*} Apa artinya ini? Dalam melihat persamaan, biasakan jangan melihat hanya pada satu sisi. Perhatikan kita bisa mengalikan ruas kiri hingga menghasilkan ruas kanan. Tetapi, kita juga bisa memfaktorkan ruas kanan menjadi ruas kiri. Inilah yang akan kita gunakan dalam memfaktorkan persamaan kuadrat.

Perhatikan kembali hasil yang telah kita dapat tadi. Apa arti dari ekspresi tersebut? Lihat kalo koefisien \(x\) adalah penjumlahan antara \(p\) dan \(q\). Suku konstanta juga merupakan perkalian antara \(p\) dan \(q\). So, kita punya cara yang lebih baik dalam mengalikan, kita beri contoh lagi \begin{align*} &(x + 1)(x + 2)\\ &= x^2 + (1 + 2)x + 1.2 \\&= x^2 + 3x + 2 \end{align*} bandingkan ini dengan hasil kita di awal tadi.
dan yang satunya \begin{align*} &(x + 2)(x - 4) \\&= x^2 + \left(2 + (-4)\right)x + 2(-4) \\&= x^2 - 2x - 8 \end{align*} Kita peroleh cara yang lebih baik.

Cara memfaktorkan bentuk kuadrat dengan koefisien \(x^2\) bernilai satu

Sekarang ke pemfaktoran. Seperti yang telah dibilang sebelumnya, ruas kanan bisa menghasilkan ruas kiri. Jadi, jika kita ingin memfaktorkan bentuk$$ x^2 + 4x + 3$$ menjadi perkalian dua bentuk linear, bagaimana caranya? Lihat bahwa jika kita bisa menyatakan koefisien \(x\) sebagai penjumlahan dua bilangan dan konstanta sebagai perkalian bilangan-bilangan ini, maka kita bisa memfaktorkan bentuk tersebut. Dalam hal ini kita harus mencari apa yang dijumlahkan menghasilkan \(4\) dan hasil perkaliannya \(3\) ? Ketimbang mencari yang dijumlahkan dulu, kita cari aja yang hasil perkaliannya \(3\), karena ini lebih sedikit kemungkinannya. Ada beberapa kemungkinan, yaitu \begin{align*} 1.3 &= 3 \\ (-1)(-3) &= 3\end{align*} mana yang jika dijumlahkan menghasilkan \(4\) ? Ya \(1 + 3\) pastinya, jadi kita punya \begin{align*} &x^2 + 4x + 3 \\ &= (x + 1)(x + 3)\end{align*} See? memfaktorkan bukan hal yang susah. Kita coba lagi \begin{align*} x^2 + 8x + 12 \end{align*} Apa yang dikalikan menghasilkan \(12\) ? oh gampang \begin{align*} 1.12 &= 12 \\ (-1)(-12) &= 12 \\ 2.6 &= 12\\ (-2)(-6) &= 12 \\ 3.4 &= 12 \\ (-3)(-4) & = 12 \end{align*} ternyata agak banyak juga, yang menghasilkan \(8\) jika dijumlahkan adalah \(2 + 6\) jadi kita punya \begin{align*} &x^2 + 8x + 12 \\ &= (x + 2)(x + 6) \end{align*} (gak susah ternyata, mulai terbiasa nih)
Tapi ingat, perhatikan positif negatif ya. Kita ke contoh lagi \begin{align*} x^2 - 4x - 5 \end{align*} Nah untuk yang ini, apa yang dikalikan menghasilkan \(-5\)? kita tulis aja semua \begin{align*} 1.(-5) &= -5 \\ (-1)(5) &= -5 \end{align*} yang dijumlahkan menghasilkan \(-4\) adalah \(1\) dan \(-5\) jadi kita punya \begin{align*} &x^2 - 4x - 5 \\ &= (x + 1)(x - 5) \end{align*} Selama sejauh ini, koefisien \(x^2\) kita selalu \(1\).

Cara memfaktorkan bentuk kuadrat dengan koefisien \(x^2\) tidak satu

Kita akan mencoba koefisen yang lain. Misalnya $$2x^2 + 3x + 1$$ Kita tidak bisa menggunakan yang di awal tadi, karena yg di awal tadi hanya berlaku untuk koefisien \(x^2\) yang bernilai \(1\). Tapi perhatikan bahwa ini dapat difaktorkan menjadi \begin{align*}&2x^2 + 3x + 1 \\ &= (2x + 1)(x + 1) \end{align*} Loh? Darimana ini datangnya? Bagaimana agar kita bisa melakukan ini dengan lebih mudah? Pertama kita akan memisalkan yang akan dikalikan adalah \(rx + p\) dan \(sx + q\) dengan mengalikan kedua bentuk ini diperoleh \begin{align*} &(rx + p)(sx + q)\\ &= rx.sx + rx.q + p.sx + pq \\ &= rsx^2 + (rq + ps)x + pq\end{align*} Seperti sebelumnya, tapi kali ini sedikit lebih banyak. Well, sepertinya bukan cara yang bijak kalau kita melakukan ini. Apalagi harus menghapal ini lagi, tapi saya gak melarang(kalau bisa, kenapa enggak?).

Kita cari cara lain. Perhatikan bahwa, dengan sedikit melakukan manipulasi aljabar persamaan tadi bukanlah persamaan yang sulit. Kelompokkan agar muncul suku yang sama, lalu gunakan sifat distributif, \begin{align*} &2x^2 + 3x + 1 \\ &= 2x^2 + x + 2x + 1 \\ &= (2x + 1)x + (2x + 1) \\ &= (2x + 1)(x + 1)\end{align*} Tentu saja kita bisa melakukan hal yang sama pada bentuk-bentuk sebelumnya, tapi saya pribadi lebih suka melakukannya seperti apa yang telah kita lakukan sebelumnya, yaitu melihat jumlah dan perkaliannya.

Tidak semua bentuk dapat difaktorkan. Tapi bagaimana kita tahu? Coba aja, kalau gak ketemu pemfaktoran yang bagus, ya sudahlah.

Pemfaktoran untuk mencari akar persamaan kuadrat

Sekarang kita akan membahas bagaimana pemfaktoran dapat dilakukan untuk mencari akar persamaan kuadrat. Langsung ke contoh, misalnya kita ingin mencari akar dari persamaan kuadrat berikut $$x^2 + 5x + 4 = 0.$$ Pertama kita faktorkan ruas kiri dan diperoleh $$(x + 1)(x + 4) = 0$$ Perhatikan bahwa ruas kiri merupakan perkalian yang menghasilkan nilai \(0\) Kita tahu bahwa apabila perkalian menghasilkan nilai \(0\) pasti salah satunya ada yang bernilai \(0\). Jadi kita punya \(x + 1 = 0\) atau \(x + 4 = 0\) yang berarti \(x = -1\) atau \(x = -4\). Inilah semua solusi untuk persamaan tersebut. Himpunan semua nilai yang memenuhi suatu persamaan disebut himpunan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaian untuk persamaan ini adalah \(\{-1,-4\}\).

HATI-HATI!

Pastikan ruas kanan telah bernilai \(0\). Jika ruas kanan bukan \(0\) kita tidak bisa langsung menyimpulkan. Sebagai contoh $$x^2 + 2x = 4$$ dengan memfaktorkan ruas kiri akan didapat $$x(x + 2) = 4$$ Jika kita menyimpulkan \(x = 4\) atau \(x + 2= 4\) dan memperoleh \(x = 4\) atau \(x = 2\) maka akan terjadi kesalahan. Perhatikan bahwa dengan mensubstitusi ke persamaan, nilai ini tidak memenuhi (coba cek). Sebagai tambahan, kita selalu bisa mengecek solusi yang telah kita dapat benar atau salah dengan mensubstitusi ke persamaan awal. Jika ada yang salah, maka kemungkinan ada kesalahan dalam pengerjaan kita dan perlu dicek kembali.

Pemfaktoran yang sudah kita bahas di atas merupakan pemfaktoran persamaan kuadrat secara umum. Untuk bentuk khusus yang lain, seperti selisih kuadrat dan kuadrat sempurna, kamu bisa cek artikel yang berfokus ke bentuk pemfaktoran yang lain.

Seperti yang telah dibilang sebelumnya, tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan. Oleh karena itu, kita membahas cara selanjutnya, yaitu dengan melengkapi kuadrat sempurna.

Cara II: Melengkapi kuadrat sempurna

Kita masuk ke cara kedua untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Berbeda dengan cara pemfaktoran yang hanya dapat menyelesaikan persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan, cara melengkapi kuadrat sempurna bisa dipakai untuk semua persamaan kuadrat.

Sebelum ke sana, perhatikan hasil kuadrat berikut. \begin{align*} &(x + t)^2 \\&= x^2 + 2tx + t^2 \end{align*} seperti sebelumnya, dalam melihat persamaan kita harus melihat dari dua sisi. Yang akan kita pakai adalah dari sisi kanan ke sisi kiri persamaan ini. Agar lebih jelas kita buat ke beberapa contoh berikut. \begin{align*} x^2 + 4x + 4&=(x + 2)^2 \\x^2 + 8x + 16 &= (x + 4)^2 \\x^2 -6x + 9 &= (x - 3)^2\end{align*} Perhatikan beberapa contoh ini, ruas kanan dan ruas kirinya. Yang ada di dalam kurung di ruas kanan adalah setengah dari koefisien \(x\) pada ruas kiri. Yaitu \(2\) didapat dari \(\frac{4}{2}\), \(4\) didapat dari \(\frac{8}{2}\) dan \(-3\) didapat dari \(\frac{-6}{2}\). Yang perlu diperhatikan adalah suku konstanta harus hasil kuadrat dari bilangan ini. Perhatikan \(2^2 = 4\), \(4^2 = 16\), dan \((-3)^2 = 9\). Lalu bagaimana jika ini tidak terpenuhi? Perhatikan yang berikut \begin{align*} x^2 + 10x + 28 \end{align*} Nah setengah dari \(10\) adalah \(5\) tetapi \(5^2 = 25\) sementara di sana \(28\) diapain dong? tulis aja sebagai $$x^2 + 10x + 25 + 3$$ Sekarang \(3\) suku pertama dapat menjadi kuadrat sempurna, sehingga dengan menuliskan dengan lengkap diperoleh \begin{align*}&x^2 + 10x + 28 \\&= x^2 + 10x + 25 + 3 \\&= (x + 5)^2 + 3 \end{align*}

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat sempurna

Kita langsung ke contoh aja \begin{align*} x^2 - 4x + 4 = 0\end{align*}ini mudah, dengan melengkapkan kuadrat persamaan ini menjadi $$ (x - 2)^2 = 0$$ dengan mengakarkan diperoleh $$x - 2 = 0$$ sehingga \(x = 2\). Contoh berikutnya akan lebih susah $$ x^2 - 6x + 7 = 0$$ Pertama kita coba faktorkan, tetapi tidak membuahkan hasil. Lalu perhatikan bahwa setengah dari \(-6\) adalah \(-3\) dan hasil kuadratnnya 9. Tetapi, di ruas kiri hanya ada \(7\). Oleh karena itu, dengan menambahkan \(2\) di kedua ruas diperoleh \begin{align*}x^2 - 6x + 7 &= 0 \\ x^2 - 6x + 9 &= 2 \\ (x - 3)^2 &=2 \end{align*} sehingga \(x - 3 = \sqrt 2\) atau \(x - 3 = -\sqrt 2\). Yang menghasilkan solusi \begin{align*} x & = 3 + \sqrt 2 \\ &atau \\ x &= 3 - \sqrt 2\end{align*}

Nah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat sempurna sendiri saya lebih suka membuat ruas kiri tanpa konstanta. Hal ini akan kita lihat dalam contoh berikut $$x^2 - 2x - 4 = 0$$ Pertama
Pisahkan agar suku konstanta ada di ruas kanan $$x^2 - 2x = 4$$ Kedua
kuadratkan setengah dari \(-2\), yaitu \((-1)^2 = 1\), lalu tambahkan ke kedua ruas $$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$$ sekarang persamaan ini menjadi $$(x - 1)^2 = 5$$ Ketiga
Akarkan kedua ruas sehingga didapatkan \(x - 1 = \sqrt 5\) atau \(x - 1 = -\sqrt 5\). Diperoleh \begin{align*} x &= 1 + \sqrt 5 \\ &atau \\ x&= 1 - \sqrt 5\end{align*}Kita dapat menuliskan dalam himpunan penyelesaian untuk persamaan ini yaitu $$\{1 - \sqrt 5, 1 + \sqrt 5\}$$

Bagaimana jika koefisien \(x^2\) bukan \(1\) ? Mudah, kita hanya perlu membagi persamaannya kemudian melakukan seperti apa yang telah kita lakukan sebelumnya. Misalnya $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$ dengan membagi kedua ruas dengan \(2\) diperoleh $$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$$ langkah selanjutnya (ditulis tanpa keterangan ya) \begin{align*} x^2 + 3x &= \frac{3}{2} \\ x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 &= \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2 \\ \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 &= \frac{15}{4} \\ \end{align*} diperoleh \begin{align*}x + \frac{3}{2} &= \frac{\sqrt{15}}{2} \\ &atau \\ x + \frac{3}{2} &=-\frac{\sqrt{15}}{2} \end{align*} Sehingga \begin{align*}x &= \frac{\sqrt{15} - 3}{2} \\ &atau \\ x &=\frac{-\sqrt{15} - 3}{2} \end{align*}

Setelah kita menguasai cara ini, kita akan ke pembahasan selanjutnya, yaitu rumus abc.

Cara III: Menggunakan Rumus abc

Ini dia, senjata paling ampuh untuk menyelesaikan persamaan kuadrat hanya berdasarkan koefisien-koefisiennya. Sebenarnya ini sama saja dengan cara sebelumnya, yaitu melengkapi kuadrat sempurna. Hanya saja kita sudah mendapatkan hasil akhirnya. Dengan begitu, kita tinggal memasukkan nilai-nilai koefisien persamaan kuadrat saja pada rumus ini.

Mendapatkan rumus abc dengan melengkapi kuadrat sempurna

Kita akan meninjau bentuk persamaan kuadrat yang paling umum, yaitu $$ax^2 + bx + c = 0$$dengan \(a\neq 0\). Sekarang bagi kedua ruas persamaan ini dengan \(a\), menghasilkan \begin{align*}x^2 + \left(\frac{b}{a}\right)x + \frac{c}{a} = 0\\ x^2 + \left(\frac{b}{a}\right)x = -\frac{c}{a} \end{align*} tambahkan \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ke kedua ruas (nilai ini datang dari \(\left(\frac{b/a}{2}\right)\) yang dikuadratkan)

\begin{align*} x^2 + \left(\frac{b}{a}\right) x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{-4ac + b^2}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{-4ac + b^2}}{2a} \\ \end{align*} \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{-4ac + b^2}}{2a}\\ x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align*}

Inilah yang disebut rumus abc. Dengan rumus ini kita dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan lebih mudah. Nilai \(x_{1,2}\) di sana menunjukkan \(x_1\) dan \(x_2\), yakni akar-akar dari persamaan tersebut. Bentuk yang di dalam akar, yaitu \(b^2 - 4ac\) disebut diskriminan dan bisa dilambangkan dengan \(D\). Jika kita tulis kembali, akar-akar dari persamaan tersebut adalah \begin{align*}x_1 &= \frac{-b + \sqrt D}{2a} \\ x_2 &= \frac{-b - \sqrt D}{2a} \end{align*} Ada yang menarik dengan kemungkinan-kemungkinan nilai \(D\).

  • Jika \(D\) bernilai negatif, maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real. Karena, perhatikan bahwa jika \(D\) negatif maka yang di dalam bentuk akar akan negatif.
  • Jika \(D= 0\) maka \(x_1 = x_2\) yakni persamaan tersebut hanya mempunyai satu akar real, atau bisa juga disebut memiliki akar kembar.
  • Jika \(D\) positif maka persamaan ini akan memiliki dua akar berbeda.

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus abc

Kita coba menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus ini. Perhatikan contoh berikut $$ 3x^2 + 4x - 9 = 0 $$ Dengan menggunakan rumus abc didapatkan \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 +4.3.9}}{2.3} \\ x_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 108}}{6} \\ x_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{124}}{6} \\ x_{1,2} &= \frac{-4 \pm 2\sqrt{31}}{6} \\ x_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt {31}}{3}\end{align*} Sehingga akar-akarnya adalah \begin{align*} x_1 &= \frac{-2 + \sqrt {31}}{3}\\ x_2 &= \frac{-2 - \sqrt {31}}{3} \end{align*}

Well, itu pembahasan kita hari ini. Cobalah untuk melakukan latihan yang banyak, dengan begitu akan terbiasa menyelesaikan persoalan dalam matematika. Hati-hati juga, pastikan tiap langkah yang digunakan beralasan.
Semoga bermanfaat.

See You next Illusion ~