Hallo lagi sahabat matematika!
Kali ini kita akan membahas sistem bilangan real. Well, perlu diketahui sebelumnya bahwa pembahasan kalkulus ada pada bilangan real. Perluasan dapat dilakukan pada bilangan kompleks dengan definisi yang tidak jauh berbeda. Namun sebelum kita membahas sistem pada bilangan real, kita akan terlebih dahulu membahas beberapa himpunan yang lebih sederhana.

Bilangan Asli, Bilangan Cacah, dan Bilangan Bulat

Bilangan asli (natural number) adalah yang paling sederhana di antara yang lain. Pada waktu kita baru belajar berhitung kita telah mengenal bilangan asli. Misalnya menghitung banyak telur, banyak buah apel, ataupun banyak jari yang kita miliki. Barisan bilangan asli adalah $$1,2,3,4,5,\dots$$ bilangan asli disebut juga bilangan bulat positif. Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan \(\mathbb{N}\). Huruf ini dipilih karena huruf N merupakan singkatan dari kata natural.

Himpunan bilangan yang selanjutnya adalah himpunan bilangan cacah. Yaitu himpunan bilangan asli yang juga disertakan \( 0 \) di dalamnya. Barisan $$0,1,2,3,4,5,\dots$$ merupakan barisan bilangan cacah.

Yang terakhir adalah himpunan bilangan bulat (integers), dilambangkan dengan \(\mathbb{Z}\). Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Sedikit berbibicara tentang bilangan bulat negatif. Bilangan bulat negatif biasanya dihubung-hubungkan dengan hutang. Ini mungkin dikarenakan oleh hutang yang berhawa "negatif" (itu menurut saya sih). Ok kembali, barisan bilangan bulat adalah $$\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$$ Sekilas dari apa yang kita lihat di atas bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat banyaknya berbeda. Namun fakta yang menarik adalah banyak anggota mereka sama (what?). Ini dapat dibuktikan dengan membuat fungsi bijektif antara mereka. Well, kayanya gak dibahas di sini. Bukti akan ditulis pada postingan lain jika ada kesempatan.

Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang diperoleh dari perbandingan (rasio) atau hasil bagi dua bilangan bulat dengan  syarat bagian penyebut (pembagi) tidak boleh \( 0 \), dinotasikan dengan \(\mathbb{Q}\) (quotient). Yaitu bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk \(\frac{a}{b} \) dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat dan \( b \neq 0\). Pendefinisian yang lebih baik adalah dengan memberikan syarat \(a\) dan \(b\) relatif prima (memiliki GCD/FPB (Greatest Common Divisor / Faktor Persekutuan terBesar) bernilai \(1\) ) sehingga telah berada dalam bentuk paling sederhana.  Kita tuliskan ini sebagai berikut

Suatu bilangan \(r\) adalah bilangan rasional jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat \( a\) dan \(b\) dengan \(\gcd(a,b)\) = 1 serta \(b \neq 0 \) sedemikian sehingga \begin{align*} r = \frac{a}{b} \end{align*}


Contoh dari bilangan rasional adalah \(\frac{1}{2} \), \(0.3\), dan \(2 \). Perhatikan juga bahwa semua bilangan bulat adalah bilangan rasional dengan bagian penyebut \(1\).

Bilangan real yang bukan bilangan rasional, yakni tidak dapat dinyatakan menjadi perbandingan dua bilangan bulat disebut bilangan irasional. Beberapa contoh dari bilangan irasional adalah \( \sqrt{2}, \sqrt[4]{3},   \pi,  \) dan \(e\).

Bilangan real dengan desimal berhingga sudah pasti rasional. Tapi bagaimana dengan bilangan dengan desimal yang tidak berhingga? Kita punya ciri untuk membedakannya.

Bilangan rasional memiliki desimal yang berulang, sementara bilangan irasional memiliki desimal yang tidak berulang. Contohnya \(0.333\dots\) merupakan bilangan rasional karena \(0.333\dots = \frac{1}{3} \)

Contoh

Tunjukkan bahwa \(0.123123123\dots\) adalah bilangan rasional.

Kita lakukan ini dengan 2 cara.

Cara I

Pertama misalkan
\(x = 0.123123123\dots\)
Maka \(1000x = 123,123123\dots\)
Dengan mengurangkan diperoleh \begin{align*} 1000x &= 123.123123\dots \\ x &= 0.123123123\dots \end{align*}
\begin{align*} 999x &= 123 \\ x &= \frac{123}{999} = \frac{41}{333}\end{align*}ini menunjukkan bahwa \(x\) adalah bilangan rasional.

Cara II 

Tulis \(x = 0.123123123\dots\) sebagai $$ x = 0.123 + 0.000123  +\dots $$ atau $$ x =\frac{123}{1000} + \frac{123}{1000^2} + \frac{123}{1000^3} +\dots $$ Perhatikan bahwa ini membentuk deret geometri tak hingga dengan rasio \(\frac{1}{1000} \) dan suku pertama \(\frac{123}{1000} \). Sehingga jumlahnya, \begin{align*} x &= \frac{\frac{123}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}}  = \frac{123}{999} = \frac{41}{333} \end{align*} diperoleh hasil yang sama, yakni \(x\) adalah bilangan rasional.
Q.E.D.

Bilangan Real

Himpunan bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional.Himpunan ini dinotasikan dengan \(\mathbb{R}\). Bilangan real dapat dituliskan ke dalam garis bilangan yang disebut dengan real line. Pada garis bilangan \(a\) berada di kiri \(b\) berarti bahwa \(a < b\) atau \(b > a\).

Himpunan bilangan real merupakan lapangan terurut. Apa maksudnya? Kenapa, koq istilahnya lapangan? Lapangan sendiri merupakan istilah pada aljabar abstrak untuk menamai suatu struktur yang memiliki sifat-sifat berikut.


Sifat-Sifat Lapangan 

Himpunan bilangan real memiliki sifat-sifat aljabar yang dimiliki oleh suatu lapangan. Sifat-sifat ini adalah sebagai berikut. Untuk bilangan real \(x,y\), dan \(z\)  berlaku
  1. Komutatif. \(x + y = y + x\) dan \(xy = yx\).
  2. Asosiatif. \(x + (y + z) = (x + y) + z\)
  3. Distributif. \(x(y + z) = xy + xz\) dan \((x + y)z = xz + yz\)
  4. Identitas. Terdapat unsur identitas yakni \(1\) dan \(0\) sedemikian hingga \(x + 0 = 0 + x = x\) (Identitas Penjumlahan) dan \(1.x = x.1 = x\) (Identitas Perkalian).
  5. Invers Penjumlahan. Untuk setiap bilangan real \(x\) terdapat bilangan real \(y\) sedemikian sehingga \(x + y = y + x = 0\)
  6. Invers Perkalian. Untuk setiap bilangan real \(x\) tak \(0\) terdapat bilangan real \(y\) yang memenuhi \(xy = yx = 1\)

Sifat-Sifat Urutan

Pada bilangan real terdapat beberapa sifat urutan, yakni untuk bilangan real \(x,y\), dan \(z\) berlaku
  1. Trikotomi. Salah satu dari kemungkinan berikut ini pasti terpenuhi \begin{align*} x < y,~~~ x = y,~~~  x > y\end{align*}
  2. Ketransitifan. Jika \(x < y\) dan \(y < z\) maka \(x<z\).
  3. Penambahan. \(x < y \iff x + z < y + z\).
  4. Perkalian. Jika \(z\) positif, \(x < y \iff xz < yz\) dan jika \(z\) negatif \(x < y \iff yz < xz\).
Well, kayanya itu aja untuk sistem bilangan real. Himpunan bilangan real akan dibahas lebih dalam pada analisis real. Lebih banyak bukti akan dijumpai di sana. Pada kalkulus pun akan banyak dijumpai pembuktian. Pada postingan selanjutnya akan kita bahas beberapa teknik pembuktian.

Good Luck For this one!
See You Next Illusion ~