Pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV), memiliki bentuk yang kurang lebih sama dengan pertidaksamaan satu variabel, hanya saja, sebagaimananya namanya, terdapat dua variabel berbeda pada setiap pertidaksamaannya. Adapun PtLDV ini dapat dituliskan dalam salah satu bentuk berikut:
\(Ax+By \lt C\)
\(Ax+By \leq C\)
\(Ax+By \gt C\)
\(Ax+By \geq C\)
dengan \(A, B\) dan \(C\) adalah suatu konstanta, serta \(x\) dan \(y\) adalah variabel. Keempat bentuk di atas adalah bentuk umum dari PtLDV, yaitu kedua variabelnya dituliskan hanya pada salah satu ruas saja. Salah satu tujuan dari penulisan bentuk umum tersebut biasanya untuk memudahkan dalam perhitungan, ketika kita membahas tentang sistem pertidaksamaan (akan dibahas kemudian). Karenanya kita tidak perlu bingung ketika menemukan contoh bentuk pertidaksamaan yang memiliki variabel pada setiap ruasnnya, karena sejatinya bentuknya sama saja. Adapun beberapa contoh dari PtLDV tersebut adalah sebagai berikut:
Contoh 1. Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.
Adapun contoh PtLDV untuk masing-masing tanda pertidaksamaan adalah:
\(x+3y\lt 5\)
\(4x-7y\geq 11\)
\(2x-y\gt 8\)
\(5y \geq 14 +2x\)
Bentuk Solusi Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk solusi PtLDV berbeda dengan PtLSV. Jika pada PtLSV kita memiliki solusi yang berbentuk suatu titik interval tententu yang apabila digambarkan akan membentuk sebuah garis lurus saja, maka pada PtLDV karena pertidaksamaannya memiliki dua buah variabel yang berbeda, solusinya akan berbentuk titik tertentu, yaitu (\(x, y\)) serta grafiknya akan membentuk suatu daerah pada bidang koordinat. Titik ini dikatakan sebagai solusi dari PtLDV apabila nilai dari \(x\) dan \(y\) disubstitusikan ke pertidaksamaannya, maka pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2. Solusi pertidaksamaan Salah satu contoh solusi dari pertidaksamaan
\[2{\color{red}x}+{\color{blue}y}\gt 5\]
adalah \((4,-1)\). Titik (\({\color{red}4}, {\color{blue}{-1}}\)) merupakan solusi dari \(2{\color{red}x}+{\color{blue}y}\gt 5\), sebab ketika kita substitusi menghasilkan
\begin{align*}
2{\color{red}x}+{\color{blue}y}&\gt 5\\
2({\color{red}4})+({\color{blue}{-1}})&~~{\color{green}?}~~ 5\\
8 - 1 &~~{\color{green}?}~~5\\
7 & \gt 5
\end{align*}
yang bernilai benar, yaitu \(7\) lebih besar dari \(5\).
Note: penggunakaan tanda tanya (?) pada operasi dikarenakan kita belum mendapatkan hasil akhir, jadi belum bisa dibandingkan dengan tanda pertidaksamaan.
Ingat bahwa, seperti halnya pada PtLSV, solusi PtLDV ini tidak hanya terbatas pada satu titik saja, tetapi berupa sekumpulan titik pada suatu daerah tertentu di koordinat kartesius.
Menentukan Solusi Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Setelah mengenal bentuk-bentuk PtLDV, berikutnya kita akan membahas tentang grafik serta cara menentukan solusi dari PtLDV tersebut. Simak terus ya.
Menggambar Grafik PtLDV
Prasyarat: menggambar grafik persamaan garis.
Grafik pertidaksamaan linear dua variabel adalah grafik yang memuat semua solusi dari pertidaksamaan tersebut. Grafik ini terdiri atas suatu garis batas yang membagi bidang koordinat menjadi dua bagian. Bagian pertama, yaitu wilayah yang diarsir merupakan daerah yang memuat titik-titik yang merupakan solusi dari pertidaksamaan. Sementara itu, bagian lainnya yang tidak diarsir adalah daerah yang memuat titik-titik yang bukan merupakan solusi.
Sebelum kita belajar cara menentukan grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan linear, ada baiknya kalian lihat dulu cara menggambar grafik persamaan linear berikut.
Adapun langkah-langkah menggambar grafik daerah solusi PtLDV adalah sebagai berikut
Langkah Menggambar Grafik Pertidaksamaan Linear
Gambarkan garis batas pertidaksamaan. Persamaan garis ini didapat dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi sama dengan '\(=\)'. Jika tanda pertidaksamaannya \(\lt\) atau \(\gt\), maka garis batas digambar putus-putus. Jika tanda pertidaksamaan \(\leq\) atau \(\geq\), maka garis batas digambar dengan garis sempurna.
Ambil suatu titik yang tidak terletak pada garis batas, kemudian ujilah titik tersebut apakah merupakan solusi atau bukan.
Arsir daerah yang merupakan solusi berdasarkan hasil dari titik yang sudah diuji.
Agar lebih bisa memahami materi ini, kita lihat contoh-contoh ilustrasi cara menggambar grafik pertidaksamaan berikut. Kita mulai dari pertidaksamaan linear satu variabel.
Contoh 3. Gambarkan grafik dari: (1) \(y\lt -2\) dan (2) \(x\leq 3\) pada bidang koordinat kartesius.
Solusi
Soal Pertama: \(y \lt -2\)
Pertama kita akan menggambar garis batas dengan persamaan
\(y=-2\)
Gambarlah garis lurus pada setiap titik \(y=-2\), dan garis digambar putus-putus karena tanda pertidaksamaannya adalah "\(\lt\)", sebagai berikut.
Gambar 1: Garis \(y = -2\) dibuat putus-putus
Ujilah titik \((0,{\color{blue}0})\) pada pertidaksamaan yang diberikan. Kita memiliki \(y\lt -2\), sementara itu \({\color{blue}0}\gt -2\). Artinya \((0,{\color{blue}0})\) bukanlah solusi dari pertidaksamaan, sehingga daerah yang tidak memuat \((0, {\color{blue}0})\) diberi arsiran seperti gambar berikut.
Gambar 2: Arsir daerah yang tidak memuat titik \((0,0)\).
Soal Kedua: \(x \leq 3\)
Dengan cara yang sama seperti soal nomor 1, kita gambar garis lurus pada persamaan \(x=3\), dan garis digambar sempurna karena pada pertidaksamaannya memiliki "\(\leq\)", sebagai berikut.
Gambar 1: Garis \(x=3\)
Menguji titik \(({\color{red}0}, 0)\), dan kita dapatkan bahwa \({\color{red}0} \leq 3\) yang artinya \(({\color{red}0}, 0)\) merupakan solusi dari pertidaksamaan, sehingga daerah yang memuat titiknya diberi arsiran seperti gambar berikut.
Gambar 2: Arsir daerah yang memuat \((0,0)\)
Berikutnya kita akan melihat langkah-langkah menggambar grafik PtLDV
Contoh 4. Gambarkan grafik dari \(y\lt 2x\) pada bidang koordinat kartesius.
Solusi
Pertama kita ubah pertidaksamaannya menjadi bentuk persamaan yaitu
\[y = 2x\]
Berikutnya menguji titik untuk menentukan garis batas, kita pilih beberapa pasangan titik (sembarang titik), sebagai berikut.
Misalkan kita pilih titik \(x={\color{red}0}\), maka diperoleh pasangan titiknya yaitu
\begin{align*}
y &= 2x\\
y &= 2\cdot {\color{red}0}\\
y &= {\color{blue}0}
\end{align*}
Berikutnya kita pilih titik lain yaitu \(y={\color{blue}4}\), maka diperoleh pasangan titiknya yaitu
\begin{align*}
y &= 2x\\
{\color{blue}4} &= 2x\\
x &= {\color{red}{2}}
\end{align*}
Pasangan titik yang diperoleh adalah seperti pada tabel berikut:
\(x\)
\(y = 2x\)
\((x,y)\)
\({\color{red}0}\)
\(2\cdot {\color{red}0} = {\color{blue}0}\)
\(({\color{red}0},{\color{blue}0})\)
\({\color{red}2}\)
\(2\cdot {\color{red}2} = {\color{blue}4}\)
\(({\color{red}2},{\color{blue}4})\)
Gambarkan koordinat titik yang telah didapat sebelumnya pada bidang kartesius, seperti berikut
Gambar 1: Dua titik pada garis \(y = 2x\)
Hubungkan titik-titik yang ada menjadi sebuah garis. Karena pertidaksamaannya memiliki tanda "\(\lt\)", maka garis digambar putus-putus.
Gambar 2: Garis \(y = 2x\) yang digambar putus-putus
Menguji titik untuk menentukan daerah solusi dari pertidaksamaan, misalkan kita ambil titik (\({\color{red}1}, {\color{blue}1}\)), didapat
\begin{align*}
{\color{blue}y}&\lt 2{\color{red}{x}}\\
{\color{blue}1} &~~{\color{green}?}~~2 \cdot {\color{red}1}\\
1 & \lt 2
\end{align*}
Diperoleh hasil \(1\) kurang dari \(2\), yang bernilai benar. Artinya titik (\({\color{red}1}, {\color{blue}1}\)) merupakan solusi, sehingga daerah yang memuat titik tersebut adalah daerah solusi dan harus diarsir sebagai berikut.
Gambar 3: Arsiran daerah yang memuat titik uji \((1,1)\)
Gambar selesai.
Kita lanjutin contoh soal berikutnya, masih terkait grafik PtLDV
Contoh 5. Gambarkan grafik dari \(3x - 2y \geq 8\) pada bidang koordinat kartesius
Solusi
Pertama kita gambarkan garis batasnya. Garis batas dari pertidaksamaan ini memiliki persamaan \(3x - 2y = 8\)
Berikutnya kita membutuhkan dua buah titik untuk menggambar garis, kita pilih beberapa pasangan titik (sembarang titik) sebagai berikut.
Misalkan kita pilih titik \(x={\color{red}0}\), maka diperoleh pasangan titiknya yaitu
\begin{align*}
3x - 2y &= 8\\
3\cdot{\color{red}0} - 2y &= 8\\
-2y &= 8\\
y &= {\color{blue}{-4}}
\end{align*}
Berikutnya kita pilih titik lain yaitu \(y={\color{blue}0}\), maka diperoleh pasangan titiknya yaitu
\begin{align*}
3x - 2y &= 8\\
3x - 2\cdot{\color{blue}0} &= 8\\
3x &= 8\\
x &= {\color{red}{\frac{8}{3}}}
\end{align*}
Pasangan titik yang diperoleh adalah seperti pada tabel berikut:
Gambarkan koordinat titik yang telah didapat sebelumnya pada bidang kartesius, seperti berikut
Gambar 1: Gambar dua titik yang ada pada garis
Hubungkan dua titik yang ada menjadi sebuah garis. Karena pertidaksamaannya memiliki tanda "\(\geq\)", maka garis digambar sempurna.
Gambar 2: Gambar garis batas.
Menguji titik untuk menentukan daerah solusi dari pertidaksamaan, misalkan kita ambil titik (\({\color{red}0}, {\color{blue}0}\)), didapat
\begin{align*}
3{\color{red}x}-2{\color{blue}y} &\geq 8\\
3 \cdot {\color{red}0} - 2 \cdot {\color{blue}0} &~~{\color{green}?}~~8\\
0 - 0 &~~{\color{green}?}~~8\\
0 & \ngeq 8
\end{align*}
Kita dapatkan bahwa \(0\) tidak lebih besar atau sama dengan \(8\), alias \(0\lt 8\), sehingga titik (\({\color{red}0}, {\color{blue}0}\)) bukan merupakan solusi, sehingga daerah yang tidak memuat titik tersebut yang harus diarsir. Daerah arsiran dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 3: Daerah yang telah diarsir.
Gambar selesai.
Setelah mengetahui cara menggambar daerah solusi PtLDV, berikutnya kita bahas mengenai cara menentukan solusi dari PtLDV tersebut.
Menentukan Solusi PtLDV Menggunakan Grafik
Tidak seperti pada PtLSV, yang grafiknya digambar setelah kita mendapatkan solusi, solusi dari PtLDV dapat ditentukan setelah kita menggambar grafiknya terlebih dahulu. Itulah mengapa sebelumnya kita belajar cara menggambar grafiknya terlebih dahulu, karena kalau sudah paham cara menggambar grafik, menentukan solusi akan lebih mudah.
Seringkali, solusi PtLDV diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, dalam hal ini kita menyebutnya sebagai soal cerita. Dan seringkali, saat dihadapkan pada permasalahan tersebut, kita tidak langsung diberi pertidaksamaan begitu saja, sehingga kita harus membuatnya sendiri. Oleh karena itu, kita akan mempelajari cara menentukan solusi langsung dari soal-soal cerita terkait serta belajar cara membuat pertidaksamaan berdasarkan ilustrasi yang diberikan. Perhatikan soal-soal berikut.
Contoh 6. Kamu menerima voucher hadiah sebesar Rp500.000 untuk mengisi penuh tangki ikanmu dengan ikan nila dan ikan lele. Harga ikan nila adalah Rp35.000/kg dan ikan lele Rp25.000/kg.
Tuliskan pertidaksamaan linear dua variabel untuk menggambarkan jumlah ikan nila dan ikan lele yang bisa kamu beli (dalam kg)
Gambarkan grafik pertidaksamaanya, serta tuliskan tidak kemungkinan pilihan kombinasi ikan nila dan ikan lele yang bisa kamu beli.
Solusi
Pertama kita menuliskan data dan permisalan dari soal yang diberikan.
Data dan permisalan:
Harga ikan nila \(=35.000\) Jumlah ikan nila \(={\color{red}x}\) Harga ikan lele \(=25.000\) Jumlah ikan lele \(={\color{blue}y}\) Total voucher hadiah \(=500.000\) Maksimum hadiah yang diterima adalah Rp500.000, artinya jumlah ikan yang dibeli tidak boleh melebihi nilai tersebut, sehingga tanda yang akan kita gunakan adalah '\(\leq\)'. Ilustrasi untuk permasalahannya adalah:
Berdasarkan ilustrasi tersebut, maka bentuk pertidaksamaan linearnya dapat kita tuliskan sebagai:
\[35000{\color{red}x}+25000{\color{blue}y}\leq 500000\]
Gambarkan garis batas untuk persamaan \(35000{\color{red}x}+25000{\color{blue}y}\leq 500000\) seperti pada contoh sebelumnya. Kemudian kita menguji titik (\({\color{red}0},{\color{blue}0}\)) untuk menentukan daerah solusinya, sebagai berikut.
\begin{align*}
35000{\color{red}x}+25000{\color{blue}y}&\leq 500000\\
35000\cdot{\color{red}0}+25000\cdot{\color{blue}0}&~~?~~ 500000\\
0 &\leq 500000
\end{align*}
jawaban benar, artinya titik (\({\color{red}0},{\color{blue}0}\)) merupakan solusi dari pertidaksamaan, dan daerah yang memuat titik tersebut diarsir seperti berikut.
Gambar 1: Arsir daerah yang memuat titik uji Berikutnya kita mengambil beberapa titik yang termasuk dalam daerah yang diarsir untuk melihat beberapa solusi yang mungkin. Misalkan kita ambil titik (\({\color{red}0}, {\color{blue}{20}}\)), (\({\color{red}{10}}, {\color{blue}5}\)), dan (\({\color{red}6}, {\color{blue}{12}}\)), maka kita dapat beberapa solusi pilihan sebagai berikut:
Untuk titik (\({\color{red}0}, {\color{blue}{20}}\)), diperoleh
\begin{align*}
35000{\color{red}x}+25000{\color{blue}y}&\leq 500000\\
35000\cdot{\color{red}0}+25000\cdot{\color{blue}{20}}&~~?~~ 500000\\
500000 &\leq 500000
\end{align*}
Kamu bisa membeli total hanya \(20\) kg ikan lele dengan harga Rp\(500000\).
Untuk titik (\({\color{red}{10}}, {\color{blue}{5}}\)), diperoleh
\begin{align*}
35000{\color{red}x}+25000{\color{blue}y}&\leq 500000\\
35000\cdot{\color{red}{10}}+25000\cdot{\color{blue}5}&~~?~~ 500000\\
475000 &\leq 500000
\end{align*}
Kamu bisa membeli ikan dengan kombinasi \(10\) kg ikan nila dan \(5\) kg ikan lele dengan total harga Rp\(475.000\).
Untuk titik (\({\color{red}4}, {\color{blue}{12}}\)), diperoleh
\begin{align*}
35000{\color{red}x}+25000{\color{blue}y}&\leq 500000\\
35000\cdot{\color{red}5}+25000\cdot{\color{blue}{13}}&~~?~~ 500000\\
500000 &\leq 500000
\end{align*}
Kamu juga bisa menggunakan voucher secara maksimal dengan membeli kombinasi \(5\) kh ikan nila dan \(13\) kg ikan lele.
Contoh 7. Seorang anak remaja harus mengonsumsi paling tidak 1300 miligram kalsium setiap harinya. Satu gelas susu mengandung 300 miligram kalsium dan satu gelas yogurt plain mengandung 275 miligram kalsium
Tuliskan pertidaksamaan yang menggambarkan tentang jumlah susu dan yogurt yang harus dikonsumsi setiap hari berdasarkan kebutuhan kalsium harian
Gambarkan grafik pertidaksamaannya
Berikan tiga kemungkinan solusi yang memuat kombinasi susu dan yogurt yang bisa dikonsumsi berdasarkan kebutuhan kalsium harian.
Solusi
Pertama kita menuliskan data dan permisalan dari soal yang diberikan.
Data dan permisalan:
Kandungan kalsium satu gelas susu \(=300\) mg Jumlah susu yang dikonsumsi \(={\color{red}x}\) gelas Kandungan kalsium satu gelas yogurt plain \(=275\) mg Jumlah yogurt plain yang dikonsumsi \(={\color{blue}y}\) gelas Total konsumsi kalsium harian \(=1300\) mg Kalsium yang dikonsumsi setiap harinya 'paling tidak' \(1300\) mg, artinya \(1300\) adalah nilai minimum dan boleh melebihi jumlah tersebut. Sehingga kita akan menggunakan tanda '\(\geq\)' pada pertidaksamaannya. Ilustrasi untuk permasalahannya adalah:
Berdasarkan ilustrasi tersebut, maka bentuk pertidaksamaan linearnya dapat kita tuliskan sebagai:
\[300{\color{red}x}+275{\color{blue}y}\geq 1300\]
Gambarkan garis batas untuk persamaan \(300{\color{red}x}+275{\color{blue}y}\geq 1300\), kemudian kita uji titik (\({\color{red}0},{\color{blue}0}\)) untuk menentukan daearh solusinya, sebagai berikut.
\begin{align*}
300{\color{red}x}+275{\color{blue}y}&\geq 1300\\
300\cdot{\color{red}0}+275\cdot{\color{blue}0}&~~?~~ 1300\\
0 &\ngeq 1300
\end{align*}
Kita dapat hasil bahwa \(0\ngeq 1300\), artinya titik (\({\color{red}0},{\color{blue}0}\)) bukan merupakan solusi dari pertidaksamaan, dan daerah yang tidak memuat titik tersebut diarsir seperti berikut.
Gambar 2: Arsir daerah yang tidak memuat titik uji
Kita ambil beberapa nilai yang ada pada daerah yang diarsir untuk melihat beberapa solusi yang mungkin. Misalkan kita ambil titik (\({\color{red}0}, {\color{blue}{5}}\)), (\({\color{red}4}, {\color{blue}1}\)), dan (\({\color{red}2}, {\color{blue}3}\)), sehingga kita dapatkan beberapa solusi berikut.
Untuk titik (\({\color{red}0}, {\color{blue}{5}}\)), diperoleh
\begin{align*}
300{\color{red}x}+275{\color{blue}y}&\geq 1300\\
300\cdot{\color{red}0}+275\cdot{\color{blue}{5}}&~~?~~ 1300\\
1375 &\geq 1300
\end{align*}
Kamu bisa mengonsumsi \(0\) gelas susu dan \(5\) gelas yogut dengan total kalsium yang didapat adalah \(1.375\) miligram.
Untuk titik (\({\color{red}4}, {\color{blue}{1}}\)), diperoleh
\begin{align*}
300{\color{red}x}+275{\color{blue}y}&\geq 1300\\
300\cdot{\color{red}4}+275\cdot{\color{blue}{1}}&~~?~~ 1300\\
1475 &\geq 1300
\end{align*}
Kamu bisa mengonsumsi \(4\) gelas susu dan \(1\) gelas yogut dengan total kalsium yang didapat adalah 1.475 miligram.
Untuk titik (\({\color{red}2}, {\color{blue}{3}}\)), diperoleh
\begin{align*}
300{\color{red}x}+275{\color{blue}y}&\geq 1300\\
300\cdot{\color{red}2}+275\cdot{\color{blue}{3}}&~~?~~ 1300\\
1425 &\geq 1300
\end{align*}
Kamu bisa mengonsumsi \(2\) gelas susu dan \(3\) gelas yogut dengan total kalsium yang didapat adalah \(1.425\) miligram.
Gimana, sudah paham? Buat kalian yang masih bingung dan mau tanya-tanya bisa langsung tulis di kolom komentar ya~~
Posting Komentar
Posting Komentar