Hallo lagi Sahabat Matematika!
Kalau kalian tiba pada halaman ini itu artinya kalian membutuhkan pertolongan dalam pembuktian. Well, kalian datang ke tempat yang tepat. Biasanya mereka yang kuliah di jurusan matematika atau yang berkaitan akan banyak sekali menjumpai pembuktian. Di olimpiade matematika juga biasanya terdapat soal-soal pembuktian. Tapi kenapa dibutuhkan pembuktian?
Sebelum ke sana, kita akan mulai dengan beberapa hal penting, yaitu definisi, teorema, dan teman-temannya.
Apa itu Definisi?
Definisi adalah.... Well di sini kita tidak akan mendefinisikan definisi. Pada faktanya, tidak tiap hal dapat didefinisikan. Namun, definisi merupakan hal yang sangat penting dalam matematika. Sebagai contoh, ketika dua orang berkomunikasi, mereka harus memiliki pemahaman yang sama terhadap istilah yang mereka gunakan. Inilah mengapa definisi sangat penting. Berawal dari kebutuhan matematikawan untuk berkomunikasi satu sama lain.
Dalam definisi, kita tidak perlu mengingat kata demi kata. Hal terpenting adalah inti dari kalimat tersebut. Misalnya, seseorang dapat memberikan definisi untuk bilangan genap sebagai
Suatu bilangan bulat \( n\) disebut bilangan genap jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(n = 2k\).
dan yang lain memberikan definisi
Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi 2.
Kedua definisi ini terlihat sekilas berbeda, namun keduanya adalah sama. Atau lebih tepat jika kita katakan "ekuivalen"
Lalu, apa itu Teorema?
Teorema adalah pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya. Biasanya teorema merupakan pernyataan akan hal-hal yang dianggap penting dan yang dianggap lebih penting daripada yang lain akan diberi nama (misal Teorema Apit, Teorema Dasar Kalkulus, Teorema Dasar Aritmetika, dan sebagainya). Teorema yang kurang penting terkadang disebut proposisi. Dalam membuktikan teorema, kita menggunakan definisi, aksioma, postulat, atau teorema lain yang telah dibuktikan.
Aksioma (atau Postulat) adalah pernyataan yang telah dianggap benar dan diterima tanpa pembuktian (Misalnya aksioma bilangan real, atau postulat di geometri bidang). Postulat sendiri banyak digunakan oleh Euclid di dalam bukunya Euclid's Element.
Teorema yang tujuan utamanya digunakan untuk membuktikan teorema lain disebut lemma. Misalnya Lemma Gauss (Gauss' Lemma), Lemma Hensel, dan sebagainya.
Korolari (Corollary) adalah teorema yang didapatkan langsung dari teorema yang telah dibuktikan.
Konjektur (Conjecture) adalah pernyataan yang telah diajukan dan kelihatannya benar. Konjektur dapat berupa dugaan terhadap suatu permasalahan. Misalnya pada penjumlahan bilangan dua berpangkat $$2 + 4 + 8 + \dots + 2^n$$ dengan menyelidiki beberapa suku pertama kita akan memperoleh \begin{align*} 2 &= 2^2 - 2 \\ 6 &= 2^3 - 2 \\ 14 &= 2^4 - 2 \\ 30 &= 2^5 - 2 \end{align*} setelah melihat pola, kita akan menduga bahwa jumlah \(n\) suku pertama pada penjumlahan ini adalah \(2^n - 2\). Itu artinya kita telah membuat konjektur.
Konjektur yang terbukti kebenarannya akan menjadi teorema. Namun, banyak konjektur yang akhirnya terbukti salah. Salah satu konjektur yang terkenal adalah Fermat's Last Theorem yang telah dibuktikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1994.
Setelah kita mengetahui jenis-jenis di atas, kita siap ke pembuktian. But wait, kenapa dibutuhkan pembuktian dalam matematika? Karena..... Well.... biarkan Anda yang menjawabnya (you already KNOW the answer).
Terdapat beberapa teknik dalam pembuktian. Akan kita bahas pada postingan berbeda dan lebih dalam (biar gak terlalu panjang).
Metode dan Strategi pembuktian
Well, dalam tiap pembahasan akan lebih banyak latihan pembuktian. Salah satu yang menjadi hal penting dalam pembuktian adalah terjun sendiri ke dalamnya. Daripada melihat orang lain membuktikan, yang lebih baik (menurut saya) adalah dengan mencoba membuktikannya sendiri. Ketika telah mendapati jalan buntu, barulah mencoba bantuan pada orang lain atau melihat bukti orang lain. Bukan hanya itu, dengan melihat bukti orang lain, kita akan melihat apa yang kurang dari bukti kita atau malah bukti yang sangat berbeda jauh dan tidak terpikirkan. Faktanya, banyak hal yang cara pembuktiannya lebih dari satu.
But of course, ketika kita dapat membuktikannya sendiri, rasanya itu.... (gak perlu dijelasin kayanya, rasakan sendiri)
See you next Illusion ~
2 Komentar
GOOD JOB kak
BalasHapuskak, nggak bisa buka induksi matematika
BalasHapusPosting Komentar