Hallo lagi Sahabat matematika!
Well, saya sedikit sakit kepala gara-gara kebanyakan makan bukti. Tapi kali ini kita akan berjumpa lagi dengan bukti. Dalam pos ini kita akan membahas pembuktian dengan cara membagi ke dalam beberapa kasus.

 Sebelumnya, pada latihan bukti langsung di no 10, kita telah memakai pembuktian dengan membagi kasus. Namun, di sana hanya ada dua kasus (ganjil dan genap). Pada kenyataannya, akan ada teorema atau proposisi yang dibuktikan dengan banyak sekali kasus. Tergantung teoremanya dan kitanya juga sih. Yang terpenting dalam membagi kasus adalah kita harus memastikan bukti kita telah mencakup semua kemungkinan (karena satu kemungkinan saja terlewat, maka bukti salah).

 Kita akan sedikit bermain di sini. So, enjoy aja.

 Sekarang kita akan menyelidiki ekspresi \(1 + (-1)^n (2n - 1) \) untuk \(n\) bilangan bulat. Nah cobakan untuk beberapa nilai \(n\). Di table ini ada beberapa nilai \(n\)

 Well, kayanya ada yang menonjol. Perhatikan kalau semua yang ada di tabel adalah kelipatan 4. Ok kita buat menjadi konjektur dan buktikan.

 Konjektur untuk \(n\) bilangan bulat, \(1 + (-1)^n(2n - 1)\) adalah kelipatan 4.

 Bagaimana kita akan membuktikan ini? perhatikan kembali ekspresi tersebut. Yang menjadi masalah di sana adalah \((-1)^n\). Tapi, kita tahu bahwa \(-1\) akan bernilai 1 jika pangkatnya genap, dan bernilai \((-1)\) apabila pangkatnya ganjil. So, membuktikan dengan membagi dua kasus ini kayanya akan membantu.

 Konjektur Jika \(n\) bilangan bulat maka \(1 + (-1)^n(2n - 1)\) adalah kelipatan 4.
Bukti
Kasus I
Asumsikan \(n\) genap. Maka \(n = 2k\) untuk bilangan bulat \(k\) dan \((-1)^n = 1\). Akibatnya, \begin{align*} 1 + (-1)^n(2n - 1) &= 1 + 1(2(2k) - 1) \\ &= 1 + (4k - 1) \\ &= 4k\end{align*} Kasus II
Asumsikan \(n\) ganjil. Maka \(n = 2p + 1\) untuk bilangan bulat \(p\) dan \((-1)^n = -1\). Akibatnya, \begin{align*} 1 + (-1)^n(2n - 1) &= 1 - 1(2(2p + 1) - 1)) \\ &= 1 - (4p + 2 - 1) \\ &= 1 -(4p + 1) \\ &= 4(-p) \end{align*} dari dua kasus ini didapatkan bahwa \(1 + (-1)^n(2n - 1)\) adalah kelipatan 4 untuk \(n\) bilangan bulat.
Q.E.D.

 done. Konjektur kita tadi telah menjadi teorema.

 Pada contoh berikutnya kita akan melihat kesalahan dalam membagi kasus, yakni tidak mencakup semua kemungkinan.

 Jika \(x\) bilangan real maka \(x^2\) positif.
"Bukti"
Jika \(x > 0\) maka \(x^2 > 0\) karena merupakan hasil kali dua bilangan positif.
Jika \(x < 0\) maka \(x^2 >0\) karena merupakan perkalian dua bilangan negatif.
Sehingga \(x^2\) positif jika \(x\) bilangan real.

 Whoa Whoa Whooa! Tunggu sebentar. Apa bilangan real cuma ada positif dan negatif? Jangan lupakan 0, ingat bahwa \(0^2 = 0\) yang bukan bilangan positif. Jadi bukti ini salah(gitu juga dengan pernyataannya).
Well, kayanya itu semua untuk kali ini. Di bawah akan ada beberapa soal untuk latihan. Bukti akan ditambahkan nanti.

Latihan

  1. Buktikan bahwa untuk \(n\) bilangan bulat, \(n^2 \geq n\).
  2. Bilangan bulat kelipatan 4 dapat dinyatakan ke dalam bentuk \(1 + (-1)^n(2n - 1)\) untuk suatu bilangan bulat \(n\). 
  3. Buktikan bahwa jika \(n\) bilangan bulat maka \(n^2 + 3n + 4\) adalah bilangan genap.
  4. Buat konjektur untuk semua kemungkinan digit terakhir bilangan kuadrat, kemudian buktikan.
  5. Untuk bilangan real \(a\) dan \(b\), \(\max(a,b)\)  menotasikan bilangan terbesar antara \(a\) dan \(b\) dan \(\min(a,b)\) menotasikan bilangan terkecil antara \(a\) dan \(b\). Misalnya \(\max(0,1) = 1\), \(\min(\sqrt 2, 1) = 1\), \(\min(-1,-1.5) = -1.5\), dan sebagainya.
    Buktikan bahwa \(\max(a,b) + \min(a,b) = a + b\).
  6. Buktikan bahwa bilangan pangkat tiga memiliki tiga kemungkinan, yaitu merupakan kelipatan 9, 1 lebihnya dari kelipatan 9, atau 1 kurangnya dari kelipatan 9.
  7. Buktikan bahwa untuk \(n\) bilangan bulat \(n^7 - n\) merupakan kelipatan 7.
Untuk selanjutnya kita akan masuk ke exhaustive proof. Apaan tuh? koq namanya aneh? Lihat aja nanti,

 Well...

 See You Next Illusion ~