Fungsi kuadrat memiliki beberapa bentuk yang memiliki kegunaannya masing-masing. Apa saja bentuk dari fungsi kuadrat? Bentar, sebelum ke sana, emang apa pentingnya sih kita mengetahui bentuk-bentuk ini? Yuk kita bahas dulu.
Kelebihan mengetahui berbagai bentuk fungsi kuadrat
Lebih mudah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat
Kamu pernah menggambar grafik fungsi sebelumnya? Cara paling sederhana untuk menggambar grafik bisa dilakukan dengan mengambil sebanyak-banyaknya titik lalu menghubungkannya. Kamu tidak perlu melakukan hal ini kalau kamu mengetahui bentuk-bentuk fungsi kuadrat. Selain membuang waktu, cara ini juga sangat tidak efektif.
Ini adalah kelebihan paling utama dalam perubahan bentuk dari fungsi kuadrat. Kita dapat memilih bentuk mana yang paling sesuai untuk menggambarkan fungsi kuadrat tersebut.
Dapat menyesuaikan dengan variasi soal
Soal matematika itu seringkali terdiri dari berbagai tingkatan. Soal yang mudah mungkin hanya mengharuskan kamu memakai rumus secara langsung. Namun, soal yang memiliki tingkatan lebih tinggi mengharuskan kamu untuk bisa mengolah dan memanipulasi bentuk-bentuk aljabar hingga memperoleh bentuk lain yang lebih mudah digunakan untuk menyelesaikan soal tersebut.
Bentuk-bentuk fungsi kuadrat
Setelah mengetahui kegunaannya, kita bahas bentuknya satu per satu. Fungsi kuadrat memiliki tiga buah bentuk sebagai berikut.
Bentuk Standar
Bentuk standar atau sering disebut juga bentuk umum merupakan bentuk yang paling sering digunakan dalam fungsi kuadrat. Bentuk ini merupakan bentuk dasar sebelum kita mengubah ke bentuk lainnya. Bentuk standar dari fungsi kuadrat adalah \[y=ax^2 + bx + c,\quad a\neq 0.\]
Bentuk ini memungkinkan kita untuk tahu beberapa hal seperti jumlah dan hasil kali akar. Selain itu, sumbu simetri juga bisa kita dapatkan dengan sedikit perhitungan.
Dalam bentuk standar, kita bisa mengetahui hal-hal berikut.
Jumlah akar-akar
Jumlah dari akar-akar fungsi kuadrat yang telah dituliskan ke dalam bentuk standar adalah \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.\] Cukup mudah. Hanya dengan melakukan satu operasi, yaitu pembagian, kita sudah bisa mendapatkan jumlah akar-akarnya tanpa harus mencari nilai akar-akar tersebut.
Hasil kali akar-akar
Hampir sama dengan jumlah akar, dalam bentuk standar, hasil kali kedua akar fungsi kuadrat adalah \[x_1 x_2 = \frac{c}{a}.\]
Jumlah dan hasil kali akar-akar-akar fungsi kuadrat memiliki peranan yang sangat penting juga karena kita bisa menghitung berbagai ekspresi aljabar tanpa harus mengetahui nilai masing-masing akarnya. Hal ini kita bahas lebih lanjut pada artikel yang lain.
Sumbu simetri
Sumbu simetri merupakan garis yang "membelah" grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian sama besar. Dalam bentuk standarnya, sumbu simetri merupakan garis dengan persamaan \[x = -\frac{b}{2a}.\] Ada hasil penting yang berkenaan dengan sumbu simetri.
Nilai sumbu simetri merupakan setengah dari jumlah akar-akar fungsi kuadrat.
Kenapa demikian? Karena sumbu simetri berada tepat di tengah-tengah antara kedua akar fungsi kuadrat tersebut. Misalnya, di antara \(1\) dan \(5\) yang tepat ada di tengah-tengah adalah \(3\). Bagaimana kita mencarinya? Untuk mencari bilangan yang ada di tengah, kita jumlahkan kedua bilangan tersebut kemudian bagi hasilnya dengan dua. Contohnya \(\frac{1 + 5}{2} = 3\). Hasil ini bisa kamu coba dengan bilangan-bilangan lain.
Contoh: Menentukan sumbu simetri jika nilai akar diketahui.
Suatu fungsi kuadrat memiliki akar-akar \(-7\) dan \(19\). Tentukan persamaan sumbu simetrinya.
Solusi
Persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat tersebut adalah \[x = \frac{-7 + 19}{2} = \frac{12}{2}=6.\]
2. Bentuk titik potong sumbu \(X\)
Bentuk ini memungkinkan kita untuk melihat secara langsung akar dari fungsi tersebut. Tentu saja, karena akar fungsi kuadrat merupakan nilai absis titik potong tersebut. Karena fungsi kuadrat bisa saja tidak memiliki titik potong terhadap sumbu \(X\), tidak semua bentuk fungsi kuadrat dapat diubah ke dalam bentuk ini. Bentuk ini disebut juga dengan bentuk terfaktorkan (factored form) dari suatu fungsi kuadrat. Bentuknya adalah
\[y = a(x - x_1)(x - x_2), \quad a\neq 0\]
Pada persamaan tersebut, nilai \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar persamaan tersebut. Jangan bingung ya. Di sini \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan suatu bilangan tertentu, bukan variabel.
Contoh fungsi kuadrat yang dituliskan ke dalam bentuk terfaktorkan \begin{align*} y &= (x - 1)(x + 1)\\ y &= 3(x - 7)(x + 8)\\ y &= -\frac{1}{2}(x - 3)(x - 2) \end{align*}
3. Bentuk titik puncak
Seperti namanya, bentuk titik puncak memudahkan kita untuk menentukan titik puncak dari fungsi kuadrat tersebut. Semua fungsi kuadrat dapat diubah ke bentuk ini. Dalam bentuk ini, kita sangat mudah menentukan sumbu simetri dan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat. Bentuk ini adalah \[y = a(x - p)^2 + q,\quad a\neq 0\]
dengan titik \((p,q)\) adalah titik puncak fungsi kuadrat tersebut. Ingat. Persamaan \(x = p\) adalah sumbu simetri dan nilai \(y = q\) adalah nilai maksimum atau minimum fungsi tersebut.
Kita bisa mengubah bentuk standar ke bentuk titik puncak dengan melengkapi kuadrat sempurna. Perhatikan contoh berikut.
Contoh: Mengubah bentuk umum ke bentuk titik puncak.
Ubahlah fungsi kuadrat \(y = x^2 + 6x + 10\) ke dalam bentuk titik puncak.
Solusi
Pertama kita perhatikan bagian koefisien \(x\). Nilainya adalah \(6\). Setengah dari ini adalah \(3\) dan \(3^2 =9\). Dari sini kita bisa melengkapi kuadrat sempurna seperti ini \begin{align*} y &= x^2 + 6x + 10\\ &= x^2 + 6x +9 - 9 + 10\\ &= (x + 3)^2 + 1 \end{align*}
Bentuk titik puncak (vertex form) ini sangat berguna jika kita ingin menggeser-geser grafik fungsi kuadrat tersebut dengan menggunakan transformasi geometri, seperti translasi. Kita akan bahas ini di artikel yang lain.
Posting Komentar
Posting Komentar