Hallo lagi sahabat matematika!

Sebelumnya kita telah membahas banyak sekali metode pembuktian, yaitu bukti langsung, bukti dengan kontraposisi, dan bukti dengan kontradiksi. Kita juga telah mencoba bagaimana membagi kasus. Kali ini kita akan mempelajari cara membuktikan pernyataan ekivalen.

Apa itu pernyataan ekivalen? Beberapa pernyataan dikatakan ekivalen jika memiliki nilai kebenaran yang sama. Sebagai contoh, untuk \(n\) bilangan bulat, pernyataan-pernyataan berikut ekivalen
\(p_1\) : \(n\) genap
\(p_2\) : \(n - 1\) ganjil
\(p_3\) : \(n^2\) genap

perhatikan bahwa jika salah satu benar, maka pernyataan lain juga benar, dan apabila salah satu salah, pernyataan lain juga salah. Sebelumnya ketika kita membuktikan pernyataan bikondisional \(p \to q\) dengan cara membuktikan \(p \to q\) dan \(q \to p\). Pada faktanya, pernyataan bikondisional merupakan kasus khusus untuk 2 pernyataan yang ekivalen. Dalam membuktikan pernyataan ini kita membuktikan dari \(p\) ke \(q\) lalu ke \(p\) lagi.

Untuk membuktikan pernyataan ekivalen yang lebih banyak, paling mudah dengan membuat "lingkaran" implikasi dari pernyataan tersebut. Sebagai contoh untuk membuktikan tiga pernyataan di awal tadi, kita dapat membuat beberapa sketsa pembuktian sebagai berikut. 



Pada sketsa pertama, yang perlu kita buktikan adalah
\(p_1 \to p_3 :\) Jika \(n\) genap maka \(n^2\) genap.
\(p_3 \to p_2 :\) Jika \(n^2\) genap maka \(n - 1\) ganjil
\(p_2 \to p_1 : \) Jika \(n - 1\) ganjil maka \(n\) genap.

Pada sketsa kedua, yang perlu dibuktikan
\(p_1 \to p_2 :\) Jika \(n\) genap maka \(n - 1\) ganjil.
\(p_2 \to p_3 :\) Jika \(n - 1\) ganjil maka \(n^2\) genap.
\(p_3 \to p_1 :\) Jika \(n^2\) genap maka \(n\) genap.

Pilih yang menurut Anda lebih mudah. Well, kalau saya pribadi lebih suka yang kedua.
Dalam contoh kita di atas hanya ada 3 pernyataan yang ekivalen. Pada kenyataannya, ada yang lebih banyak daripada itu. Misalnya saja di aljabar linier bahkan ada lebih dari sepuluh pernyataan ekivalen.

Well, itu aja untuk kali ini. Gunakan soal-soal berikut untuk latihan (gak usah banyak-banyak ya, bukti ditambahkan nanti).

  1. Buktikan bahwa jika \(n\) adalah bilangan bulat maka empat pernyataan ini ekivalen
    • \(n\) genap.
    • \(n + 1\) ganjil.
    • \(3n + 1\) ganjil.
    • \(3n\) genap.
  2. Buktikan bahwa jika \(n\) bilangan bulat maka empat pernyataan ini ekivalen
    • \(n^2\) ganjil
    • \(1 - n\) genap.
    • \(n^3\) ganjil.
    • \(n^2 + 1\) genap.
See You next Illusion ~