Pada post ini akan dibahas cara membuktikan pernyataan bikondisional.


 

 Hallo lagi sahabat matematika!
Sudah ada beberapa metode pembuktian yang telah kita bahas. Di antaranya bukti langsung, bukti dengan kontraposisi, dan bukti dengan kontradiksi. Selanjutnya kita akan membahas bagaimana membuktikan pernyataan bikondisional. 

 Pernyataan bikondisional adalah pernyataan yang berbentuk "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)" atau dapat ditulis \(p \leftrightarrow q\). Dapat dibuktikan bahwa pernyataan ini ekivalen dengan "\(p \to q\) dan \( q \to p\)". Sehingga, pernyataan tersebut benar ketika keduanya bernilai benar. Jadi, untuk membuktikan \(p \leftrightarrow q\) benar kita harus membuktikan \(p \to q\) benar dan \(q\to p\) juga benar.

Sebagian teorema dalam matematika berbentuk pernyataan kondisional. Di sini kita akan coba membuktikan beberapa proposisi.

 Contoh  

Proposisi Bilangan bulat \(n\) adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika \(n^2\) ganjil.
Bukti
Yang harus kita buktikan adalah, untuk \(n\) bilangan bulat,
"Jika \(n\) ganjil maka \(n^2\) ganjil"
dan
"Jika \(n^2\) ganjil maka \(n\) ganjil"
yang pertama telah kita buktikan di sini dan yang kedua telah kita buktikan di sini. Sehingga proposisi tersebut benar.
Q.E.D.

Perhatikan bahwa di sini kita membuktikan dengan menggunakan proposisi yang telah dibuktikan sebelumnya. Kelihatan kurang menarik memang, namun, jika kita menginginkan membuktikannya satu persatu atau ada yang menginginkannya, kita tinggal menulis kembali bukti kita tersebut.

Sekarang ke latihan membuktikan. Latihan di sini campuran, dapat dibuktikan dengan bukti langsung, bukti dengan kontraposisi, ataupun bukti dengan kontradiksi. Coba juga untuk membagi kasus jika diperlukan. (Bukti akan ditambahkan nanti)

Latihan
  1. Misalkan \(n\) adalah bilangan bulat. \(n\) genap jika dan hanya jika \(3n + 5\) ganjil.
  2. Untuk bilangan bulat \(a\) dan \(b\), \(a + b\) genap jika dan hanya jika \(a\) dan \(b\) mempunyai paritas yang sama.
  3. Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah bilangan real. \(x^2 = y^2\) jika dan hanya jika \(x = y\) atau \(x = -y\)
  4. Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah bilangan real. \((x + y)^2 = x^2 + y^2\) jika dan hanya jika \(x = 0\) atau \(y = 0\).
  5. Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah bilangan real.\(x^3 + x^2 y = y^2 + xy\) jika dan hanya jika \(y = x^2\) atau \(y = -x\). 
Itu dulu. Untuk selanjutnya kita akan menjumpai lebih banyak lagi bukti dan cara membuktikannya. Tentu saja dengan lebih banyak membuktikan kita akan terbiasa dengan membuktikan. But... di luar sana banyak bukti yang tidak sesederhana yang kita kira. Mungkin bukti yang telah kita lihat dari beberapa pembahasan sebelumnya hanya menghabiskan satu lembar atau paling banyak dua lembar kertas. Salah satu contohnya bukti untuk FLT yang diberikan oleh Andrew Wiles menghabiskan sampai lebih dari 150 lembar. Well, itulah menariknya matematika.

Good luck dan selamat membuktikan

See You next Illusion ~