Memahami Barisan Aritmetika

Pemahaman memang selalu lebih penting dibandingkan rumus. Berapa banyak orang yang terpaku pada rumus, hanya memakai rumus, dapat jawaban dengan benar, tetapi tidak mengerti?

Pada postingan ini kita akan membahas barisan aritmetika tanpa menggunakan rumus, atau lebih tepatnya mungkin memahami mengapa rumusnya seperti yg sudah kita ketahui sekarang. Di sini saya akan memberikan sebuah sudut pandang yang agak berbeda dalam melihat barisan aritmetika.

Rumus barisan aritmetika

Katanya tanpa rumus? Koq sekarang pakai rumus?

Tenang. Rumus ini saya tuliskan untuk kelengkapan saja. Nanti kita akan tahu bagaimana rumus ini "diciptakan". Kita memang bisa menyelesaikan masalah-masalah sederhana dengan lebih memahami suatu konsep dengan tanpa menggunakan rumus. Akan tetapi, pada masalah yang lebih kompleks kita juga harus membuatnya ke dalam bentuk persamaan yang dapat kita manipulasi lalu selesaikan. Untuk yang kurang tertarik bisa skip ke bagian berikutnya.

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah

\( U(n) = a + (n - 1)b \)

dengan \(a\) suku pertama, dan \(b\) adalah beda. Rumus ini menyiratkan bahwa suku ke-\(n\) barisan aritmetika hanya dapat dicari setelah kita mengetahui suku pertama dan beda barisan tersebut. Padahal tidak, yang kita perlukan hanya beda dan satu buah suku untuk diketahui dan kita bisa mencari semua suku lainnya, tanpa harus mencari \(a\).

Caranya: Pahami apa itu beda

Mungkin kamu sudah tau apa yang disebut beda dalam barisan aritmetika. Beda merupakan suatu hal terpenting di barisan aritmetika. Beda inilah yang membedakan antara barisan aritmetika dengan barisan lainnya. Bisa dibilang beda adalah tokoh utama dalam barisan aritmetika. Jadi, kita harus pastikan kita benar-benar paham apa itu beda. Banyak orang mendefinisikannya seperti "beda adalah selisih dua suku berurutan pada barisan aritmetika" dan pastinya kamu sudah sering mendengar atau membaca tentang ini, baik di buku ataupun di internet. Nah, coba sekarang pakai sudut pandang lain seperti ini

Beda adalah nilai yang ditambahkan ke suatu suku untuk menuju ke suku selanjutnya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Pada barisan \(4,7,10,13,16,19, 22, 25, 28,...,\) berapa suku ke-\(10\)?

Penyelesaian: Kita bisa menghitung dari awal dan menemukan bahwa suku ke-\(9\) barisan tersebut adalah \(28\) dan bedanya \(3\), sehingga untuk suku ke-\(10\) kita hanya perlu menambahkan beda. Jadi, suku ke-10 adalah \(28 + 3 = 31.\)

"Berarti kita cuma bisa tau suku selanjutnya dong? Kalau suku lainnya gimana?"

Kita bisa bergerak dari suatu suku ke suku mana saja tergantung "jarak" sukunya. Contohnya dari suku ke-\(9\) ke suku ke-\(17\) kita menambahkan beda sebanyak \(8\) kali. Delapan inilah yang kita sebut dengan "jarak" antarsuku.

Contoh 2.

Pada barisan \(4,7,10,13,16,19, 22, 25, 28,...,\) berapa suku ke-\(17\)?

Penyelesaian: Suku ke-\(9\) barisan tersebut adalah \(28\) dan bedanya \(3\). Untuk suku ke-\(17\), kita tambahkan beda sebanyak \(8\) kali ke suku ke-\(9\) yaitu suku ke-\(17 = 28 + 8.3 = 52.\)

Alternatif penyelesaian: Kita bahkan bisa memilih suku yang lebih mudah untuk perhitungan, tidak harus dari suku ke-\(9\). Suku yang lebih mudah untuk perhitungan ini terkadang bisa pada suku yang berjarak kelipatan \(10\) dari suku yang ingin kita cari.

Jika kita mulai dari suku ke-\(7\), kita menambahkan beda sebanyak \(10\) kali.

Suku ke-\(17 =\) Suku ke-\(7 + 10\times\) beda \(= 22 + 10×3 = 52.\)

Cara menentukan beda pada barisan aritmetika

Kita dapat menentukan beda dari suatu barisan aritmetika jika sudah diketahui dua suku dari barisan tersebut. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 3.

Diketahui suku ke-\(10\) dan suku ke-\(17\) dari suatu barisan aritmetika adalah \(20\) dan \(34\). Berapa beda barisan tersebut?

Penyelesaian: Dari suku ke-\(10\) ke suku ke-\(17\) kita menambahkan beda sebanyak \(7\) kali, dengan total \(14\). Artinya, satu kali menambahkan adalah \(14/7 = 2\). Jadi, beda barisan tersebut adalah \(2\).

Sekali lagi, kita tidak harus menentukan suku pertama. Memang apa istimewanya suku pertama? Satu-satunya yg istimewa di barisan aritmetika adalah beda. Inilah yg benar-benar kita butuhkan. Meskipun pada deret aritmetika dibutuhkan suku pertama untuk mencari jumlah, itu cerita lain lagi.

Contoh 4.

Diketahui suku ke-\(15\) dan suku ke-\(28\) suatu barisan aritmetika adalah \(3\) dan \(42\). Tentukan suku ke-\(200\)

Penyelesaian: Seperti sebelumnya, beda \(= 39/13 = 3\). Untuk ke suku ke-\(200\) kita bisa mulai dari suku ke-\(15\) atau suku ke-\(28\).

Suku ke-\(200 =\) Suku ke-\(15 + 185\times \)beda \(= 3 + 185\times 3 = 558\)

atau

Suku ke-\(200 =\) Suku ke-\(28 + 172\times \)beda \(= 42 + 172×3 = 558\)

Tidak perlu menghitung keduanya. Cukup salah satu saja, mana yg lebih mudah. Yang jelas kita tidak harus menghitung suku pertama dulu. Akan tetapi, kalau kita menginginkan suku pertama, kita juga bisa hitung nilainya sebagai berikut.

Karena mundur, kita tidak menambah beda, tetapi mengurangi beda.

Suku pertama \(=\) Suku ke-\(15 - 14\times \)beda \(= 3 - 14\times 3 = -39\).

Rumus: Revisit

Setelah kita memahami bagaimana cara "bergerak" dari suku yg satu ke suku lainnya, kita bisa tuliskan ini ke dalam bentuk rumus.

Untuk bergerak dari suku ke-m ke suku ke-n kita menambahkan beda sebanyak n - m. Kita peroleh hubungan berikut.

\begin{align}  U(n) = U(m) + (n - m) \times b \tag{1}\end{align}

Khususnya, kalau \(m = 1\) kita peroleh

\begin{align} U(n) &= U(1) + (n - 1)× b \\ &= a + (n - 1)b \tag{2}\end{align}

Rumus suku ke-n deret aritmetika yg diperoleh dari suku pertama.

Rumus \((1)\) lebih fleksibel, karena kita bisa menggunakan suku mana saja, sedangkan rumus \((2)\) mengharuskan kita menggunakan suku pertama.